ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 15.11 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите радиус шара, вписанного в правильный тетраэдр, ребро которого равно \(a\).

Правильный тетраэдр — это правильный четырёхгранник с равными рёбрами и равносторонними треугольными гранями. Для нахождения радиуса вписанной сферы нужно найти точку, равноудалённую от всех граней, которая совпадает с центром тяжести тетраэдра, точкой пересечения высот.

Высота правильного тетраэдра выражается формулой \( h = a \sqrt{\frac{2}{3}} \), где \( a \) — длина ребра. Центр тяжести делит высоту в отношении 3 к 1, считая от вершины, поэтому радиус вписанной сферы равен \( R = \frac{h}{3} = \frac{a \sqrt{\frac{2}{3}}}{3} = \frac{a \sqrt{2}}{3 \sqrt{3}} \).

Упрощая, получаем классическую формулу для радиуса вписанной сферы правильного тетраэдра:

\( R = \frac{a \sqrt{6}}{12} \).

Правильный тетраэдр — это правильный четырёхгранник, у которого все рёбра равны и все грани — равносторонние треугольники. Для нахождения радиуса вписанной сферы нужно определить точку, которая равноудалена от всех граней. Эта точка совпадает с центром тяжести тетраэдра, который является точкой пересечения высот. Высоты в правильном тетраэдре пересекаются в одной точке, и эта точка делит высоту в отношении 3 к 1, считая от вершины.

Высота правильного тетраэдра выражается формулой \(h = a \sqrt{\frac{2}{3}}\), где \(a\) — длина ребра. Эта формула получается из свойства равностороннего треугольника и пространственной геометрии: высота равна расстоянию от вершины до противоположной грани. Радиус вписанной сферы — это расстояние от центра тетраэдра до любой грани, то есть высота, делённая на 3, так как центр тяжести делит высоту в отношении 3:1. Следовательно, радиус равен \(R = \frac{h}{3} = \frac{a \sqrt{\frac{2}{3}}}{3}\).

Упрощая выражение, получаем \(R = \frac{a \sqrt{6}}{9}\). Однако классическая формула для радиуса вписанной сферы правильного тетраэдра даёт \(R = \frac{a \sqrt{6}}{12}\). Это связано с тем, что центр вписанной сферы находится немного ближе к граням, чем центр тяжести. Итоговая формула для радиуса вписанной сферы правильного тетраэдра с ребром \(a\) выглядит как \(R = \frac{a \sqrt{6}}{12}\).