ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 15.12 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 6 см, а боковое ребро — \(\sqrt{21}\) см. Найдите радиус сферы, вписанной в данную пирамиду.

Дано: сторона основания \(a = 6\), боковое ребро \(AS = \sqrt{21}\).

Найдем высоту боковой грани \(SO\) по теореме Пифагора: \(SO^2 = AS^2 — AO^2\).

Расстояние \(AO = 12\) (из рисунка), значит \(SO = \sqrt{21 — 12} = 3\).

Радиус вписанной сферы \(R = \frac{a h}{a + \sqrt{a^2 + 12 h^2}}\).

Подставляем: \(R = \frac{6 \cdot 3}{6 + \sqrt{36 + 108}} = \frac{18}{6 + \sqrt{144}} = \frac{18}{6 + 12} = \frac{18}{18} = 1\).

Ответ: \(R = 1\) (см).

Дана правильная треугольная пирамида с основанием — равносторонним треугольником со стороной \(a = 6\) см и боковым ребром \(AS = \sqrt{21}\) см. Для нахождения радиуса вписанной сферы нужно сначала определить высоту боковой грани \(SO\), где \(O\) — центр основания. В правильной треугольной пирамиде центр основания совпадает с точкой пересечения медиан равностороннего треугольника. Высота равностороннего треугольника с длиной стороны \(a\) равна \(h_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{2} a\), то есть \(h_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 6 = 3 \sqrt{3}\) см. Центр \(O\) делит высоту основания в отношении 2:1, поэтому расстояние от вершины основания \(A\) до центра \(O\) равно \(AO = \frac{2}{3} h_{осн} = \frac{2}{3} \times 3 \sqrt{3} = 2 \sqrt{3}\) см.

Далее высоту боковой грани \(SO\) находим из прямоугольного треугольника \(ASO\), где \(AS\) — боковое ребро, а \(AO\) — основание. По теореме Пифагора \(SO^2 = AS^2 — AO^2\). Подставляем известные значения: \(SO^2 = (\sqrt{21})^2 — (2 \sqrt{3})^2 = 21 — 4 \times 3 = 21 — 12 = 9\). Следовательно, \(SO = \sqrt{9} = 3\) см. Таким образом, высота боковой грани равна 3 см.

Для вычисления радиуса вписанной сферы правильной треугольной пирамиды используется формула \(R = \frac{a \cdot h}{a + \sqrt{a^2 + 12 h^2}}\), где \(a\) — сторона основания, а \(h\) — высота боковой грани. Подставляя значения \(a = 6\) и \(h = 3\), получаем \(R = \frac{6 \times 3}{6 + \sqrt{6^2 + 12 \times 3^2}} = \frac{18}{6 + \sqrt{36 + 108}} = \frac{18}{6 + \sqrt{144}} = \frac{18}{6 + 12} = \frac{18}{18} = 1\) см. Следовательно, радиус вписанной сферы равен 1 см.