ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 15.13 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Основанием пирамиды является ромб со стороной \(a\) и углом \(\alpha\). Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны \(\beta\). Найдите радиус шара, вписанного в данную пирамиду.

Пусть основание пирамиды — ромб со стороной \(a\) и углом \(\alpha\). Площадь основания равна \(S = a^{2} \sin \alpha\).

Высота пирамиды \(h\) связана с половиной двугранного угла \(\frac{\beta}{2}\) и половиной стороны основания \(\frac{a}{2}\) через тангенс: \(\tan \frac{\beta}{2} = \frac{h}{\frac{a}{2}} = \frac{2h}{a}\), откуда \(h = \frac{a}{2} \tan \frac{\beta}{2}\).

Радиус вписанного шара \(r\) равен высоте, умноженной на синус угла \(\alpha\): \(r = h \sin \alpha = \frac{a}{2} \tan \frac{\beta}{2} \sin \alpha\). Таким образом, \(r = \frac{1}{2} a \sin \alpha \tan \frac{\beta}{2}\).

Пусть основание пирамиды — ромб со стороной \(a\) и углом \(\alpha\). Ромб — это четырёхугольник с равными сторонами, и угол \(\alpha\) — это угол между двумя смежными сторонами. Площадь такого основания вычисляется по формуле \(S = a^{2} \sin \alpha\), так как площадь ромба равна произведению квадрата стороны на синус угла между сторонами. Эта площадь важна для понимания размеров основания и дальнейших расчётов высоты и радиуса вписанного шара.

Двугранные углы при рёбрах основания равны \(\beta\). Двугранный угол — это угол между двумя плоскостями, в нашем случае между основанием и боковой гранью пирамиды. Чтобы понять, как связана высота пирамиды с этим углом, рассмотрим вертикальный срез пирамиды, проходящий через одно из рёбер основания. В этом сечении видно, что высота пирамиды \(h\) и половина стороны основания \(\frac{a}{2}\) образуют прямоугольный треугольник, где угол при основании равен половине двугранного угла \(\frac{\beta}{2}\). Это связано с тем, что двугранный угол делится пополам линией, проходящей через высоту пирамиды.

Из этого треугольника следует, что тангенс половины двугранного угла равен отношению высоты пирамиды к половине стороны основания, то есть \(\tan \frac{\beta}{2} = \frac{h}{\frac{a}{2}} = \frac{2h}{a}\). Отсюда высота выражается как \(h = \frac{a}{2} \tan \frac{\beta}{2}\). Теперь, чтобы найти радиус вписанного шара \(r\), нужно учесть, что этот радиус равен расстоянию от центра основания до точки касания шара с боковой гранью, то есть высоте, умноженной на синус угла \(\alpha\), так как радиус лежит в плоскости основания и перпендикулярен высоте. Следовательно, радиус вписанного шара равен \(r = h \sin \alpha = \frac{a}{2} \tan \frac{\beta}{2} \sin \alpha\). Таким образом, окончательная формула для радиуса вписанного шара в рассматриваемую пирамиду имеет вид \(r = \frac{1}{2} a \sin \alpha \tan \frac{\beta}{2}\).