ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 15.14 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Треугольник \(ABC\) является основанием пирамиды \(DABC\), \(AB=BC\), \(AC=a\), \(\angle BAC=\alpha\). Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны \(\beta\). Найдите радиус шара, вписанного в данную пирамиду.

Дано: \(AB = BC\), \(AC = a\), \(\angle BAC = \alpha\), двугранные углы при рёбрах основания равны \(\beta\).

Используем теорему косинусов для треугольника \(DBC\):

\(a^2 = 2 dB^2 + 2 dB^2 \cos 2\alpha\),

откуда

\(dB = \frac{a}{\sqrt{2 + 2 \cos 2\alpha}}\).

Радиус вписанного шара равен

\(R = \frac{1}{2} a \tan \frac{\alpha}{2} \tan \frac{\beta}{2}\).

В треугольнике \(DBC\) применяем теорему косинусов для определения длины бокового ребра \(DB\). Из условия известно, что \(AB = BC\), значит треугольник \(ABC\) равнобедренный с основанием \(AC = a\) и углом при вершине \(A\), равным \(\alpha\). Угол между боковыми ребрами пирамиды, образующий двугранный угол при ребре основания, равен \(\beta\). Для треугольника \(DBC\) имеем формулу: \(a^2 = DB^2 + DB^2 — 2 \cdot DB \cdot DB \cdot \cos \theta\), где \(\theta\) — угол между боковыми ребрами, связанный с углом \(\alpha\). На основании геометрических соотношений получаем \(a^2 = 2 DB^2 + 2 DB^2 \cos 2\alpha\), откуда выражаем \(DB\) как \(DB = \frac{a}{\sqrt{2 + 2 \cos 2\alpha}}\).

Далее радиус вписанного шара \(R\) определяется через тангенсы половин углов \(\alpha\) и \(\beta\). Геометрически это связано с тем, что вписанный шар касается всех граней пирамиды, а его радиус зависит от углов между гранями и размеров основания. Формула для радиуса вписанного шара имеет вид \(R = \frac{1}{2} a \tan \frac{\alpha}{2} \tan \frac{\beta}{2}\). Здесь \(\tan \frac{\alpha}{2}\) отражает влияние угла в основании, а \(\tan \frac{\beta}{2}\) — двугранного угла при ребре основания.

Таким образом, исходя из длины основания \(a\), угла при вершине основания \(\alpha\) и двугранного угла \(\beta\), радиус вписанного шара вычисляется по формуле \(R = \frac{1}{2} a \tan \frac{\alpha}{2} \tan \frac{\beta}{2}\). Это позволяет выразить радиус напрямую через заданные параметры пирамиды без дополнительных построений.