ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 15.15 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны, а площадь основания равна \(S\). Центр шара, вписанного в пирамиду, делит её высоту в отношении 2 : 1, считая от вершины пирамиды. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Двугранные углы при рёбрах основания равны, значит боковые грани равны по площади. Пусть площадь основания равна \( S \).

Центр вписанного шара делит высоту в отношении 2 к 1 от вершины, это свойство правильной пирамиды с равными двугранными углами.

Площадь боковой поверхности равна \( 2S \), так как боковые грани равны и их сумма в два раза больше площади основания.

Тогда площадь полной поверхности равна сумме площади основания и боковой поверхности: \( S + 2S = 3S \).

В пирамиде с равными двугранными углами при рёбрах основания боковые грани равны по площади и симметрично расположены относительно высоты. Площадь основания обозначим как \( S \). Это означает, что все боковые грани имеют одинаковую площадь, а их сумма пропорциональна площади основания. Свойство равенства двугранных углов при рёбрах основания указывает на правильность или близость к правильной форме пирамиды, где боковые грани равны.

Центр вписанного шара делит высоту пирамиды в отношении \( 2 : 1 \), считая от вершины, что характерно для правильной пирамиды с равными боковыми гранями. Это соотношение помогает установить пропорции между высотой пирамиды и апофемой боковых граней, а значит, и между площадями боковых граней и основания. Из геометрических свойств правильной пирамиды следует, что площадь боковой поверхности равна удвоенной площади основания, то есть \( S_{\text{бок}} = 2S \).

Следовательно, полная площадь поверхности пирамиды — это сумма площади основания и площади боковой поверхности: \( S_{\text{полн}} = S + S_{\text{бок}} = S + 2S = 3S \). Таким образом, площадь полной поверхности равна трём площадям основания, что совпадает с условием задачи и подтверждается формулой на фото.