ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 15.16 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны 45°. В каком отношении центр вписанного в эту пирамиду шара делит её высоту, считая от вершины пирамиды?

Двугранный угол при ребре основания равен 45°, значит угол между боковыми гранями \(\theta = 45^\circ\).

Центр вписанного шара находится на высоте \(x\), где отношение \(x\) к высоте пирамиды \(H\) равно \(x/H = \frac{1}{1 + \tan(\theta/2)}\).

Так как \(\tan(22.5^\circ) = \sqrt{2} — 1\), то

\(x/H = \frac{1}{1 + \sqrt{2} — 1} = \frac{1}{\sqrt{2}}\).

Отношение высоты пирамиды к отрезку от вершины до центра шара равно \(H : x = \sqrt{2} : 1\).

Двугранный угол при ребре основания пирамиды равен 45°, то есть угол между двумя боковыми гранями, сходящимися вдоль ребра основания, составляет \( \theta = 45^\circ \). Этот угол играет ключевую роль в определении положения центра вписанного шара внутри пирамиды. Центр вписанного шара лежит на высоте пирамиды, и нам нужно найти отношение, в котором он делит эту высоту, считая от вершины.

Высота пирамиды обозначим как \( H \), а расстояние от вершины до центра вписанного шара — как \( x \). Из геометрии пирамиды известно, что положение центра вписанного шара связано с двугранными углами при ребрах основания. Для правильной пирамиды с равными двугранными углами при ребрах основания отношение \( \frac{x}{H} \) можно выразить через половину этого угла, используя тангенс: \( \frac{x}{H} = \frac{1}{1 + \tan(\frac{\theta}{2})} \).

Подставляя значение угла \( \theta = 45^\circ \), вычисляем половину угла \( \frac{\theta}{2} = 22.5^\circ \). Тангенс этого угла равен \( \tan 22.5^\circ = \sqrt{2} — 1 \). Тогда отношение высоты до центра шара к полной высоте пирамиды будет равно \( \frac{x}{H} = \frac{1}{1 + \sqrt{2} — 1} = \frac{1}{\sqrt{2}} \). Следовательно, центр вписанного шара делит высоту пирамиды в отношении \( H : x = \sqrt{2} : 1 \).