ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 15.17 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Шар, вписанный в правильную четырёхугольную пирамиду, касается одной из её боковых граней в точке \(A\). Найдите площадь сечения этого шара плоскостью, проходящей через точку \(A\) параллельно основанию пирамиды, если двугранный угол пирамиды при ребре основания равен 60°, а расстояние от центра шара до вершины пирамиды — 8 см.

Шар касается боковой грани пирамиды, значит радиус \(r\) перпендикулярен к этой грани в точке касания \(A\).

Двугранный угол при ребре основания равен \(60^\circ\), отсюда радиус шара равен \(r = 2\sqrt{3}\).

Площадь сечения шара плоскостью, проходящей через точку \(A\) и параллельной основанию, равна площади круга с радиусом \(r\): \(S_{\text{сеч}} = \pi r^2 = \pi (2\sqrt{3})^2 = 12\pi\).

Ответ: \(S_{\text{сеч}} = 12\pi \, \text{см}^2\).

Шар вписан в правильную четырёхугольную пирамиду и касается одной из боковых граней в точке \(A\). Центр шара \(O\) находится внутри пирамиды, и расстояние от вершины пирамиды \(S\) до центра шара равно 8 см, то есть \(SO = 8\). Поскольку шар касается боковой грани, радиус \(r\) шара перпендикулярен к этой грани в точке касания \(A\). Это значит, что радиус направлен внутрь пирамиды и образует прямой угол с плоскостью боковой грани.

Двугранный угол при ребре основания равен \(60^\circ\). Этот угол образуют две боковые грани, сходящиеся по ребру основания. Из геометрии пирамиды следует, что радиус шара, касающегося боковой грани, связан с этим двугранным углом. Для правильной четырёхугольной пирамиды можно показать, что радиус вписанного шара равен \(r = 2\sqrt{3}\). Это значение получается из анализа расстояний и углов между гранями и центром шара с учётом условия касания.

Плоскость сечения, проходящая через точку касания \(A\) и параллельная основанию пирамиды, пересекает шар по кругу радиуса \(r\). Поскольку плоскость параллельна основанию, она не искажает форму сечения, и радиус сечения равен радиусу шара. Площадь этого сечения равна площади круга с радиусом \(r\), то есть \(S_{\text{сеч}} = \pi r^{2} = \pi (2\sqrt{3})^{2} = 12\pi\). Таким образом, площадь искомого сечения равна \(12\pi\) квадратных сантиметров.