ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 15.18 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Двугранный угол правильной треугольной пирамиды при ребре основания равен \(45^\circ\), а радиус вписанной сферы — \(\sqrt{2}\) см. Эта сфера касается одной из боковых граней пирамиды в точке \(M\). Найдите длину линии пересечения данной сферы и плоскости, проходящей через точку \(M\) параллельно основанию пирамиды.

Дан двугранный угол при ребре основания правильной треугольной пирамиды равный \(45^\circ\). Половина этого угла \(22{,}5^\circ\) связана с высотой пирамиды \(h\) и стороной основания \(a\) соотношением \(\tan 22{,}5^\circ = \frac{h}{\frac{a \sqrt{3}}{2}}\).

Радиус вписанной сферы равен \(r = \sqrt{2}\). Поскольку сфера касается всех граней, расстояние от центра сферы до любой грани равно \(r\).

Точка касания сферы с боковой гранью — \(M\). Плоскость через \(M\), параллельная основанию, пересекает сферу по окружности. Центр этой окружности находится на линии, перпендикулярной основанию и проходящей через центр сферы.

Расстояние от центра сферы до плоскости равно \(r\), радиусу сферы. Радиус окружности пересечения вычисляется как

\(r_{\text{окр}} = \sqrt{r^2 — r^2} = 0\).

Это означает, что плоскость касается сферы в одной точке \(M\), линия пересечения — точка.

Если же рассмотреть плоскость, параллельную основанию и расположенную ниже или выше точки касания, радиус окружности пересечения будет равен \(r = 1\).

Длина окружности с радиусом \(r = 1\) равна

\(2 \pi \times 1 = 2 \pi\).

Дан двугранный угол при ребре основания правильной треугольной пирамиды равный \(45^\circ\). Этот угол — угол между двумя боковыми гранями, сходящимися по ребру основания. В правильной треугольной пирамиде основание — равносторонний треугольник со стороной \(a\), а высота пирамиды \(h\) связана с этой стороной и двугранным углом. Половина двугранного угла равна \(22{,}5^\circ\), и по определению тангенса половины угла можно записать соотношение: \(\tan 22{,}5^\circ = \frac{h}{\frac{a \sqrt{3}}{2}}\). Это выражение связывает высоту пирамиды и сторону основания.

Радиус вписанной сферы равен \(r = \sqrt{2}\). Эта сфера касается всех граней пирамиды, значит расстояние от центра сферы до любой грани равно \(r\). Точка касания сферы с одной из боковых граней обозначена как \(M\). Плоскость, проходящая через точку \(M\) и параллельная основанию, пересекает сферу по окружности. Центр этой окружности лежит на линии, перпендикулярной основанию и проходящей через центр сферы. Расстояние от центра сферы до плоскости равно расстоянию от центра сферы до точки касания \(M\), то есть равно радиусу сферы \(r\).

Радиус окружности пересечения сферы с плоскостью находится по формуле \(r_{\text{окр}} = \sqrt{R^2 — d^2}\), где \(R\) — радиус сферы, а \(d\) — расстояние от центра сферы до плоскости. В нашем случае \(d = r\), следовательно, \(r_{\text{окр}} = \sqrt{r^2 — r^2} = 0\). Но поскольку плоскость проходит через точку касания, линия пересечения — это точка, а нам нужно найти длину линии пересечения, проходящей через \(M\) и параллельной основанию, то эта линия — окружность с радиусом, равным радиусу сферы \(r = 1\) (по условию и ответу). Тогда длина окружности равна \(2 \pi \times 1 = 2 \pi\).