ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 15.19 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна \(a\), а плоский угол при вершине пирамиды равен \(\alpha\). Найдите радиус шара, вписанного в данную пирамиду.

Для правильной треугольной пирамиды с основанием стороны \(a\) и плоским углом при вершине \(\alpha\) длина ребра равна \(dS = \frac{a}{2 \sin \frac{\alpha}{2}}\).

Высота боковой грани вычисляется по формуле \(SO = \frac{a}{2 \sin \frac{\alpha}{2}} \sqrt{\frac{3 — \sin^{2} \frac{\alpha}{2}}{3}}\).

Радиус вписанного шара равен \(R = \frac{a h}{a + \sqrt{a^{2} + 12 h^{2}}}\), где высота пирамиды \(h = SO \sqrt{3}\).

Подставляя выражение для \(h\), получаем окончательную формулу радиуса вписанного шара:

\(R = \frac{a \sqrt{3}}{6} \sqrt{\frac{3 — \tan \frac{\alpha}{2}}{3 + \tan\frac{\alpha}{2}}}\).

Рассмотрим правильную треугольную пирамиду с основанием стороны \(a\) и плоским углом при вершине \(\alpha\). Для начала найдем длину ребра пирамиды \(dS\). Используем косинусную теорему в треугольнике, образованном ребром \(dS\), стороной основания \(a\) и углом \(\alpha\). Поскольку ребра равны, получаем уравнение \(a^{2} = 2 dS^{2} (1 — \cos \alpha)\). Отсюда выражаем \(dS\) через \(a\) и \(\alpha\): \(dS = \frac{a}{2 \sin \frac{\alpha}{2}}\). Это важно, так как длина ребра связана с углом при вершине и стороной основания.

Далее определим высоту боковой грани пирамиды \(SO\). Она равна расстоянию от вершины пирамиды до центра основания боковой грани. Высоту можно найти через \(dS\) и длину отрезка \(dO\), где \(dO = dS \sin \frac{\alpha}{2}\). Тогда \(SO^{2} = dS^{2} — dO^{2}\), что приводит к формуле \(SO = \frac{a}{2 \sin \frac{\alpha}{2}} \sqrt{\frac{3 — \sin^{2} \frac{\alpha}{2}}{3}}\). Эта величина отражает высоту боковой грани и зависит от угла \(\alpha\).

Для нахождения радиуса вписанного шара \(R\) используем формулу \(R = \frac{a h}{a + \sqrt{a^{2} + 12 h^{2}}}\), где \(h\) — высота пирамиды. Высота \(h\) связана с высотой боковой грани \(SO\) через \(h = SO \sqrt{3}\). Подставляя выражения, получаем окончательную формулу радиуса вписанного шара: \(R = \frac{a \sqrt{3}}{6} \sqrt{\frac{3 — \tan \frac{\alpha}{2}}{3 + \tan\frac{\alpha}{2}}}\). Эта формула показывает, как радиус вписанного шара зависит от стороны основания и плоского угла при вершине.