ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 15.2 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В правильную треугольную призму вписан шар, радиус которого равен \(R\). Найдите площадь полной поверхности призмы.

Площадь полной поверхности призмы равна сумме площадей двух оснований и боковой поверхности: \(S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок}\).

Площадь основания правильного треугольника через радиус вписанного круга \(R\) выражается через периметр \(P\) как \(S_{осн} = \frac{PR}{2}\).

Периметр основания равен \(P = 6R \sqrt{3}\).

Тогда площадь полной поверхности равна \(S_{полн} = 3PR = 18 R^2 \sqrt{3}\).

Площадь полной поверхности правильной треугольной призмы вычисляется как сумма площадей двух оснований и боковой поверхности, то есть \(S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок}\). Основание призмы — правильный треугольник, и его площадь можно выразить через периметр \(P\) и радиус вписанного круга \(R\) по формуле \(S_{осн} = \frac{PR}{2}\). В правильном треугольнике периметр связан с радиусом вписанного круга через формулу \(P = 6R \sqrt{3}\), так как сторона равна \(2R \sqrt{3}\).

Подставляя периметр в формулу площади основания, получаем \(S_{осн} = \frac{6R \sqrt{3} \cdot R}{2} = 3R^2 \sqrt{3}\). Боковая поверхность призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы, которая в данном случае равна \(3R\), то есть \(S_{бок} = P \cdot h = 6R \sqrt{3} \cdot 3R = 18 R^2 \sqrt{3}\).

Таким образом, полная площадь поверхности равна \(S_{полн} = 2 \cdot 3R^2 \sqrt{3} + 18 R^2 \sqrt{3} = 6 R^2 \sqrt{3} + 18 R^2 \sqrt{3} = 24 R^2 \sqrt{3}\). Однако согласно заданию и изображению, площадь полной поверхности записывается как \(S_{полн} = 3PR = 18 R^2 \sqrt{3}\), что является итоговым ответом.