ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 15.20 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна \(a\), а плоский угол при вершине пирамиды равен \(\alpha\). Найдите радиус шара, вписанного в данную пирамиду.

Радиус вписанного шара \(R\) равен \( \frac{a h}{a + \sqrt{a^2 + 4 h^2}} \).

Высоту \(h\) можно выразить через плоский угол при вершине \(\alpha\).

Тогда \(R = \frac{a}{2} \sqrt{\frac{1 — \tan \frac{\alpha}{2}}{1 + \tan \frac{\alpha}{2}}} \).

Радиус вписанного шара \(R\) в правильную четырёхугольную пирамиду можно выразить через сторону основания \(a\) и высоту пирамиды \(h\). Формула для \(R\) получается из геометрических соотношений между сторонами основания, высотой и касательными плоскостями вписанного шара. Она имеет вид \(R = \frac{a h}{a + \sqrt{a^2 + 4 h^2}}\). В числителе стоит произведение стороны основания на высоту, а в знаменателе сумма стороны основания и длины диагонали, выраженной через \(a\) и \(h\).

Высоту пирамиды \(h\) можно связать с плоским углом при вершине \(\alpha\) через тригонометрические функции. Плоский угол \(\alpha\) задаёт наклон боковых граней к основанию, и через половину этого угла выражается тангенс \(\tan \frac{\alpha}{2}\). Используя свойства треугольников и соотношения между сторонами, высоту \(h\) можно заменить на выражение с тангенсом угла, что позволяет упростить формулу для радиуса.

В итоге радиус вписанного шара выражается через сторону основания \(a\) и угол \(\alpha\) так: \(R = \frac{a}{2} \sqrt{\frac{1 — \tan \frac{\alpha}{2}}{1 + \tan \frac{\alpha}{2}}}\). Эта формула показывает, как радиус зависит от угла при вершине: чем меньше угол, тем больше радиус, и наоборот. Таким образом, радиус вписанного шара рассчитывается через сторону основания и половину плоского угла при вершине пирамиды, используя тангенс этого угла.