ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 15.21 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что если центр шара, описанного около правильной треугольной пирамиды, и центр вписанного в неё шара совпадают, то данная пирамида является правильным тетраэдром.

Центр вписанного шара в правильную треугольную пирамиду совпадает с центром основания пирамиды.
Центр описанного шара лежит на высоте пирамиды.

Если эти точки совпадают, то центр вписанного и описанного шара совпадают.

Это возможно только в случае правильного тетраэдра.

Центр вписанного шара правильной треугольной пирамиды находится в центре её основания, так как вписанный шар касается всех граней пирамиды, и точка касания с основанием совпадает с центром правильного треугольника. Обозначим этот центр как \( O \).

Центр описанного шара лежит на высоте пирамиды, поскольку описанный шар проходит через все вершины пирамиды. В правильной треугольной пирамиде высота опущена из вершины на центр основания, поэтому центр описанного шара находится на этой высоте, обозначим его как \( O’ \).

Если центр вписанного шара \( O \) и центр описанного шара \( O’ \) совпадают, это означает, что одна точка является одновременно центром основания и центром описанного шара. Такое возможно только в случае, когда высота и центр основания совпадают с центром описанного шара. Это возможно, если все ребра пирамиды равны, то есть пирамида является правильным тетраэдром. Таким образом, совпадение центров вписанного и описанного шаров доказывает, что пирамида — правильный тетраэдр.