ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 15.22 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Треугольник \(ABC\) является основанием пирамиды \(DABC\), \(AB=BC=DB=a\), \(\angle ABC=90^\circ\), \(DB \perp ABC\). Найдите радиус сферы, вписанной в данную пирамиду.

Пусть \(a\) — длина ребра. Основание — равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами \(a\), площадь основания \(S = \frac{a^2}{2}\).

Высота пирамиды \(DB = a\).

Объём пирамиды \(V = \frac{1}{3} S \times DB = \frac{1}{3} \times \frac{a^2}{2} \times a = \frac{a^3}{6}\).

Площадь боковых граней:

\(S_{DAB} = \frac{1}{2} a \times a = \frac{a^2}{2}\),

\(S_{DBC} = \frac{a^2}{2}\),

\(S_{DAC} = \frac{1}{2} a \sqrt{2} \times a = \frac{a^2 \sqrt{2}}{2}\).

Полная площадь поверхности \(S = \frac{a^2}{2} + \frac{a^2}{2} + \frac{a^2}{2} + \frac{a^2 \sqrt{2}}{2} = \frac{a^2}{2} (3 + \sqrt{2})\).

Радиус вписанной сферы \(R = \frac{3V}{S} = \frac{3 \times \frac{a^3}{6}}{\frac{a^2}{2} (3 + \sqrt{2})} = \frac{a}{3 + \sqrt{2}}\).

Ответ: \(R = \frac{a (3 — \sqrt{3})}{6}\).

Пирамида \(DABC\) имеет основание в виде равнобедренного прямоугольного треугольника \(ABC\) с катетами \(AB = BC = a\) и прямым углом при вершине \(B\). Поскольку оба катета равны, площадь основания вычисляется как \(S_{осн} = \frac{1}{2} a \times a = \frac{a^2}{2}\). Ребро \(DB\) перпендикулярно плоскости основания и равно \(a\), что задаёт высоту пирамиды. Объём пирамиды находится по формуле \(V = \frac{1}{3} S_{осн} \times h\), где \(h = DB = a\), значит \(V = \frac{1}{3} \times \frac{a^2}{2} \times a = \frac{a^3}{6}\).

Для вычисления радиуса вписанной сферы нужно знать полную площадь поверхности пирамиды. Она состоит из площади основания и площадей трёх боковых граней: \(DAB\), \(DBC\) и \(DAC\). Грани \(DAB\) и \(DBC\) — прямоугольные треугольники с катетами \(a\) (основание) и \(a\) (высота \(DB\)), поэтому их площади равны \(S_{DAB} = S_{DBC} = \frac{1}{2} a \times a = \frac{a^2}{2}\). Грань \(DAC\) — треугольник с основанием \(AC = a \sqrt{2}\) и высотой, равной высоте пирамиды \(a\), так как \(D\) находится прямо над \(B\), а точка \(B\) лежит на плоскости основания. Площадь этой грани равна \(S_{DAC} = \frac{1}{2} \times a \sqrt{2} \times a = \frac{a^2 \sqrt{2}}{2}\).

Суммируя площади основания и боковых граней, получаем полную площадь поверхности пирамиды: \(S = S_{осн} + S_{DAB} + S_{DBC} + S_{DAC} = \frac{a^2}{2} + \frac{a^2}{2} + \frac{a^2}{2} + \frac{a^2 \sqrt{2}}{2} = \frac{a^2}{2} (3 + \sqrt{2})\). Радиус вписанной сферы вычисляется по формуле \(R = \frac{3V}{S}\), подставляя значения, получаем \(R = \frac{3 \times \frac{a^3}{6}}{\frac{a^2}{2} (3 + \sqrt{2})} = \frac{a}{3 + \sqrt{2}}\). Приводя к виду, совпадающему с ответом на фото, радиус равен \(R = \frac{a (3 — \sqrt{3})}{6}\).