ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 15.23 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Около шара описана правильная треугольная усечённая пирамида, стороны оснований которой равны 6 см и 12 см. Найдите площадь боковой поверхности усечённой пирамиды.

Стороны оснований 6 и 12 см. Апофема меньшего основания \( ВМ = \frac{6 \sqrt{3}}{2} = 3 \sqrt{3} \) см, большего \( BW = \frac{12 \sqrt{3}}{2} = 6 \sqrt{3} \) см.

Вычисляем высоты боковых граней: \( MO_2 = \frac{6 \sqrt{3}}{6} = \sqrt{3} \) см, \( NO_1 = \frac{12 \sqrt{3}}{6} = 2 \sqrt{3} \) см.

Средняя высота боковой поверхности \( MN = MO_2 + NO_1 = 3 \sqrt{3} \) см.

Площадь боковой поверхности \( S_{бок} = \frac{3}{2} (6 + 12) \times 3 \sqrt{3} = 81 \sqrt{3} \) см².

Для нахождения площади боковой поверхности правильной треугольной усечённой пирамиды сначала определяем апофемы оснований. Апофема правильного треугольника равна половине стороны, умноженной на корень из трёх, то есть \( ВМ = \frac{6 \sqrt{3}}{2} = 3 \sqrt{3} \) см для меньшего основания и \( BW = \frac{12 \sqrt{3}}{2} = 6 \sqrt{3} \) см для большего. Эти апофемы представляют собой высоты треугольников, образующих основания пирамиды, и необходимы для вычисления высот боковых граней.

Далее рассчитываем высоты боковых граней усечённой пирамиды. Высота от точки \( M \) до точки \( O_2 \) равна \( MO_2 = \frac{6 \sqrt{3}}{6} = \sqrt{3} \) см, а от точки \( N \) до точки \( O_1 \) — \( NO_1 = \frac{12 \sqrt{3}}{6} = 2 \sqrt{3} \) см. Эти величины получены делением апофем оснований на 6, что связано с геометрией усечённой пирамиды и расположением точек, определяющих боковые грани. Суммируя эти высоты, получаем среднюю высоту боковой поверхности \( MN = MO_2 + NO_1 = 3 \sqrt{3} \) см.

Наконец, площадь боковой поверхности вычисляется по формуле \( S_{бок} = \frac{3}{2} (6 + 12) \times 3 \sqrt{3} \). Здесь \( \frac{3}{2} (6 + 12) \) — это полусумма периметров оснований, умноженная на количество сторон (3), а \( 3 \sqrt{3} \) — высота боковой грани. Подставляя значения, получаем \( S_{бок} = 81 \sqrt{3} \) см², что и является искомой площадью боковой поверхности усечённой пирамиды.