ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 15.24 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В правильную четырёхугольную усечённую пирамиду вписан шар, радиус которого равен \(R\). Двугранный угол усечённой пирамиды при ребре её большего основания равен 45°. Найдите площадь боковой поверхности усечённой пирамиды.

Усечённая пирамида с вписанным шаром радиуса \(R\) имеет двугранный угол при большом основании \(45^\circ\). Площадь боковой поверхности равна произведению средней длины периметров оснований на апофему \(m\): \(S_{бок.п.} = \frac{P_1 + P_2}{2} \cdot m\).

По условию и расчетам получаем \(S_{бок.п.} = 32 R^2\).

Усечённая правильная четырёхугольная пирамида имеет вписанный шар радиуса \(R\). Для нахождения площади боковой поверхности \(S_{бок.п.}\) используется формула, которая выражает площадь через сумму периметров верхнего и нижнего оснований и апофему боковой поверхности \(m\): \(S_{бок.п.} = \frac{P_1 + P_2}{2} \cdot m\), где \(P_1\) и \(P_2\) — периметры верхнего и нижнего оснований соответственно. Апофема \(m\) — это высота боковой грани, проведённая перпендикулярно к ребру основания.

Двугранный угол при ребре большого основания равен \(45^\circ\). Это означает, что боковая грань наклонена под углом \(45^\circ\) к плоскости основания. Благодаря этому углу и радиусу вписанного шара \(R\) можно выразить апофему \(m\) и периметры через \(R\). В результате вычислений и подстановок получается, что площадь боковой поверхности связана с радиусом шара очень просто: \(S_{бок.п.} = 32 R^2\).

Таким образом, площадь боковой поверхности усечённой пирамиды равна произведению константы 32 на квадрат радиуса вписанного шара. Это учитывает и размеры оснований, и наклон боковых граней, заданный двугранным углом \(45^\circ\). Итоговая формула для площади боковой поверхности: \(S_{бок.п.} = 32 R^2\).