ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 15.26 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Высота ромба равна 12 см, а меньшая диагональ — 15 см. Найдите площадь ромба.

Высота ромба \( AH = 12 \) см, меньшая диагональ \( AC = 15 \) см.

В треугольнике \( AHE \) по теореме Пифагора: \( AH^2 = AC^2 — HE^2 \), откуда \( HE = \sqrt{225 — 144} = 9 \) см.

Обозначим \( BH = x \), тогда \( AB = AH + x = 9 + x \).

В треугольнике \( HBC \) по теореме Пифагора: \( x^2 + 144 = (9 + x)^2 \).

Раскроем скобки: \( x^2 + 144 = 81 + 18x + x^2 \).

Сократим \( x^2 \) и решим уравнение: \( 144 = 81 + 18x \), \( 18x = 63 \), \( x = 3,5 \).

Тогда \( AB = 9 + 3,5 = 12,5 \) см.

Площадь ромба \( S = AB \times AH = 12,5 \times 12 = 150 \) см².

Ромб имеет высоту \( AH = 12 \) см и меньшую диагональ \( AC = 15 \) см. Рассмотрим треугольник \( AHE \), где \( E \) — середина диагонали \( AC \). В этом треугольнике высота \( AH \) является перпендикуляром к стороне \( BC \), а \( AE \) равна половине диагонали \( AC \), то есть \( AE = \frac{15}{2} = 7,5 \) см. Используя теорему Пифагора, можно найти отрезок \( HE \), который является частью стороны ромба. По формуле \( AH^2 = AE^2 — HE^2 \), подставляем известные значения: \( 12^2 = 7,5^2 — HE^2 \). Это даёт уравнение \( 144 = 56,25 — HE^2 \), откуда \( HE^2 = 56,25 — 144 = -87,75 \), что невозможно, значит рассмотрим другой подход.

В другом подходе высоту \( AH \) рассматриваем как сторону прямоугольного треугольника с известными другими сторонами. В треугольнике \( AHE \) по теореме Пифагора высчитываем \( AH = \sqrt{AC^2 — HE^2} \). Подставляя значения, получаем \( AH = \sqrt{15^2 — 9^2} = \sqrt{225 — 81} = \sqrt{144} = 12 \) см, что совпадает с высотой ромба. Таким образом, отрезок \( HE = 9 \) см.

Обозначим \( BH = x \), тогда сторона ромба \( AB = AH + x = 9 + x \). Рассмотрим треугольник \( HBC \), в котором по теореме Пифагора выполняется равенство \( x^2 + 12^2 = (9 + x)^2 \). Раскроем скобки и упростим: \( x^2 + 144 = 81 + 18x + x^2 \). Сократим \( x^2 \) с обеих сторон и решим уравнение: \( 144 = 81 + 18x \), откуда \( 18x = 63 \) и \( x = \frac{63}{18} = 3,5 \) см. Тогда сторона ромба равна \( AB = 9 + 3,5 = 12,5 \) см. Площадь ромба вычисляется как произведение стороны на высоту: \( S = AB \times AH = 12,5 \times 12 = 150 \) см².