ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 15.27 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Коллинеарны ли векторы \( \vec{m}(8; -10; 6) \) и \( \vec{n}(-4; 5; -3) \)? Найдите координаты вектора \( \vec{k} \), который коллинеарен вектору \( \vec{n} \) и модуль которого в три раза больше модуля вектора \( \vec{n} \).

Векторы коллинеарны, так как \(\frac{8}{-4} = \frac{-10}{5} = \frac{6}{-3} = -2\).

Модуль вектора \(\vec{n}\) равен \(\sqrt{(-4)^2 + 5^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 25 + 9} = 5\sqrt{2}\).

Модуль вектора \(\vec{k}\) должен быть в 3 раза больше, то есть \(3 \times 5\sqrt{2} = 15\sqrt{2}\).

Так как \(\vec{k}\) коллинеарен \(\vec{n}\), \(\vec{k} = \lambda \vec{n}\), тогда \(|\lambda| = \frac{15\sqrt{2}}{5\sqrt{2}} = 3\).

Выберем \(\lambda = -3\), тогда \(\vec{k} = (-3)(-4; 5; -3) = (12; -15; 9)\).

Векторы \(\vec{m}(8; -10; 6)\) и \(\vec{n}(-4; 5; -3)\) коллинеарны, если существует число \(t\), при котором выполняется равенство \(\vec{m} = t \vec{n}\). Для проверки этого условия нужно сравнить отношения соответствующих координат: \(\frac{8}{-4} = -2\), \(\frac{-10}{5} = -2\), \(\frac{6}{-3} = -2\). Поскольку все три отношения равны одному и тому же числу \(-2\), это подтверждает, что векторы коллинеарны.

Далее вычислим модуль вектора \(\vec{n}\). Модуль вектора в трёхмерном пространстве находится по формуле \(|\vec{n}| = \sqrt{(-4)^2 + 5^2 + (-3)^2}\). Подставляя значения, получаем \(\sqrt{16 + 25 + 9} = \sqrt{50} = 5 \sqrt{2}\). Это длина вектора \(\vec{n}\).

Задача требует найти вектор \(\vec{k}\), который коллинеарен \(\vec{n}\) и имеет модуль в три раза больше. Значит, \(|\vec{k}| = 3 |\vec{n}| = 3 \times 5 \sqrt{2} = 15 \sqrt{2}\). Поскольку \(\vec{k} = \lambda \vec{n}\), то модуль \(\vec{k}\) равен \(|\lambda| \times |\vec{n}|\). Отсюда \(|\lambda| = \frac{15 \sqrt{2}}{5 \sqrt{2}} = 3\). Выбирая \(\lambda = -3\) (чтобы совпадало с условием и ответом), получаем \(\vec{k} = -3 \times (-4; 5; -3) = (12; -15; 9)\).