ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 15.3 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В правильную шестиугольную призму вписан шар, радиус которого равен \(R\). Найдите площадь полной поверхности призмы.

Радиус вписанного шара равен радиусу вписанного круга основания, значит \(R = a \frac{\sqrt{3}}{2}\), откуда \(a = \frac{2R}{\sqrt{3}}\).

Высота призмы \(h = 2R\).

Площадь основания \(S_{\text{осн}} = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \left(\frac{2R}{\sqrt{3}}\right)^2 = 2\sqrt{3} R^2\).

Периметр основания \(P = 6a = 6 \cdot \frac{2R}{\sqrt{3}} = \frac{12R}{\sqrt{3}}\).

Площадь боковой поверхности \(S_{\text{бок}} = P \cdot h = \frac{12R}{\sqrt{3}} \cdot 2R = \frac{24 R^2}{\sqrt{3}} = 8 \sqrt{3} R^2\).

Полная площадь поверхности \(S = 2 S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}} = 2 \cdot 2\sqrt{3} R^2 + 8 \sqrt{3} R^2 = 12 \sqrt{3} R^2\).

Радиус вписанного шара в правильную шестиугольную призму совпадает с радиусом вписанного круга в основании призмы, которым является правильный шестиугольник. Радиус вписанного круга правильного шестиугольника выражается формулой \( R = a \frac{\sqrt{3}}{2} \), где \( a \) — длина стороны шестиугольника. Отсюда можно выразить сторону основания через радиус шара: \( a = \frac{2R}{\sqrt{3}} \). Это ключевое соотношение позволяет связать геометрические параметры призмы с радиусом вписанного шара.

Высота призмы равна диаметру шара, так как шар вписан внутри призмы и касается обеих оснований. Следовательно, высота \( h = 2R \). Для вычисления полной площади поверхности призмы нужно найти площадь основания и площадь боковой поверхности. Площадь правильного шестиугольника с длиной стороны \( a \) вычисляется по формуле \( S_{\text{осн}} = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^{2} \). Подставляя выражение для \( a \), получаем \( S_{\text{осн}} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \left(\frac{2R}{\sqrt{3}}\right)^{2} \), что упрощается до \( 2 \sqrt{3} R^{2} \).

Периметр основания равен \( P = 6a = 6 \cdot \frac{2R}{\sqrt{3}} = \frac{12R}{\sqrt{3}} \). Площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания на высоту призмы: \( S_{\text{бок}} = P \cdot h = \frac{12R}{\sqrt{3}} \cdot 2R = \frac{24 R^{2}}{\sqrt{3}} \), что можно переписать как \( 8 \sqrt{3} R^{2} \). Полная площадь поверхности призмы равна сумме площадей двух оснований и боковой поверхности: \( S = 2 S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}} = 2 \cdot 2 \sqrt{3} R^{2} + 8 \sqrt{3} R^{2} = 12 \sqrt{3} R^{2} \).