ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 15.4 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник с катетом \(a\) и противолежащим ему углом \(\alpha\). Найдите радиус шара, вписанного в данную призму.

Основание призмы — прямоугольный треугольник с катетом \(a\) и углом \(\alpha\). По определению, \( \sin \alpha = \frac{a}{AC} \), откуда \( AC = \frac{a}{\sin \alpha} \).

Катет \(BC\) равен \( BC = \frac{a}{\tan \alpha} \).

Радиус вписанного шара равен \( R = \frac{AB + BC — AC}{2} \).

Подставляем значения: \( R = \frac{a + \frac{a}{\tan \alpha} — \frac{a}{\sin \alpha}}{2} \).

Приводим к общему знаменателю и упрощаем:

\( R = \frac{a \left(1 + \cot \alpha — \csc \alpha\right)}{2} = \frac{a \cot \frac{\alpha}{2}}{1 + \cot \frac{\alpha}{2}} \).

Основание призмы — прямоугольный треугольник, в котором один катет равен \(a\), а угол напротив этого катета равен \(\alpha\). По определению синуса угла в прямоугольном треугольнике, отношение противолежащего катета к гипотенузе равно синусу угла, то есть \( \sin \alpha = \frac{a}{AC} \), где \(AC\) — гипотенуза. Отсюда гипотенузу можно выразить как \( AC = \frac{a}{\sin \alpha} \).

Второй катет \(BC\) можно найти через тангенс угла \(\alpha\), который равен отношению противолежащего катета к прилежащему, то есть \( \tan \alpha = \frac{a}{BC} \). Следовательно, \( BC = \frac{a}{\tan \alpha} \). Теперь у нас есть все три стороны треугольника: \(AB = a\), \(BC = \frac{a}{\tan \alpha}\), и \(AC = \frac{a}{\sin \alpha}\).

Радиус вписанного шара в призму равен половине разности суммы двух катетов и гипотенузы, то есть \( R = \frac{AB + BC — AC}{2} \). Подставляя известные значения, получаем \( R = \frac{a + \frac{a}{\tan \alpha} — \frac{a}{\sin \alpha}}{2} \). Вынесем \(a\) за скобки: \( R = \frac{a \left(1 + \frac{1}{\tan \alpha} — \frac{1}{\sin \alpha}\right)}{2} \). Используя тригонометрические функции, заменим \( \frac{1}{\tan \alpha} \) на \( \cot \alpha \), а \( \frac{1}{\sin \alpha} \) на \( \csc \alpha \), тогда выражение станет \( R = \frac{a (1 + \cot \alpha — \csc \alpha)}{2} \).

Далее преобразуем выражение, используя формулы для половинного угла: \( 1 + \cot \alpha — \csc \alpha = \frac{2 \cot \frac{\alpha}{2}}{1 + \cot \frac{\alpha}{2}} \). Таким образом, окончательное выражение для радиуса вписанного шара примет вид \( R = \frac{a \cot \frac{\alpha}{2}}{1 + \cot \frac{\alpha}{2}} \).