ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 15.5 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Основанием прямой призмы является равнобедренный треугольник. Высота этого треугольника, проведённая к его основанию, равна \(h\) и образует с боковой стороной треугольника угол \(\alpha\). Найдите высоту призмы, если известно, что в эту призму можно вписать шар. Найдите радиус шара, вписанного в данную призму.

Рассмотрим равнобедренный треугольник с высотой \( h \), точка пересечения высоты с основанием — \( D \), боковая сторона — \( CD \), угол между высотой и боковой стороной — \( \alpha \).

По определению косинуса в треугольнике \( CDB \):

\[
\cos \alpha = \frac{h}{CD}
\]

Отсюда длина боковой стороны:

\[
CD = \frac{h}{\cos \alpha}
\]

Высота призмы \( BB_1 \), в которую вписывается шар, связана с размерами основания и углом \( \alpha \) по формуле:

\[
BB_1 = 2h \tan \alpha \cdot \tan \left( 45^\circ — \frac{\alpha}{2} \right)
\]

Эта формула учитывает высоту треугольника \( h \), наклон боковой стороны через угол \( \alpha \) и геометрию призмы, необходимую для вписанного шара.

Рассмотрим равнобедренный треугольник с высотой \(h\), проведённой к основанию. Пусть точка пересечения высоты с основанием — \(D\), а боковая сторона — \(CD\). Угол между высотой и боковой стороной равен \(\alpha\). По определению косинуса угла в треугольнике \(CDB\) имеем соотношение \( \cos \alpha = \frac{h}{CD} \). Отсюда длина боковой стороны \(CD\) выражается формулой \( CD = \frac{h}{\cos \alpha} \).

Далее, чтобы вписать шар в призму, высота призмы \(BB_1\) должна быть связана с размерами основания. В силу симметрии равнобедренного треугольника и условий вписанного шара высота призмы определяется через тангенсы углов, связанных с \(\alpha\). Высота призмы равна \( BB_1 = 2h \tan \alpha \cdot \tan \left(45^\circ — \frac{\alpha}{2}\right) \). Здесь множитель \(2h \tan \alpha\) связан с длиной боковой стороны и высотой, а вторая часть формулы учитывает угол наклона боковой стороны относительно высоты.

Таким образом, высота призмы зависит не только от высоты треугольника \(h\), но и от угла \(\alpha\), который задаёт наклон боковой стороны. Формула \( BB_1 = 2h \tan \alpha \cdot \tan \left(45^\circ — \frac{\alpha}{2}\right) \) позволяет точно вычислить высоту призмы, при которой можно вписать шар, учитывая геометрические свойства равнобедренного треугольника и условия касания шара с боковыми гранями.