ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 15.7 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Основанием прямой призмы является ромб, диагонали которого равны 12 см и 16 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если известно, что в эту призму можно вписать шар.

Основание призмы — ромб с диагоналями 16 и 12 см. Сторона ромба \( AB = \sqrt{(16/2)^2 + (12/2)^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10 \) см.

Площадь основания \( S = \frac{1}{2} \times 16 \times 12 = 96 \) см².

Из условия вписанного шара: \( \frac{1}{2} \times 16 \times 12 = 10 \times h \), откуда \( h = \frac{96}{10} = 9{,}6 \) см.

Периметр основания \( P = 4 \times 10 = 40 \) см.

Площадь боковой поверхности \( S_{\text{бок}} = P \times h = 40 \times 9{,}6 = 384 \) см².

Ответ: 384 см².

Основание призмы — ромб, у которого известны диагонали длиной 16 см и 12 см. Для начала найдём длину стороны ромба. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам, поэтому сторона равна гипотенузе прямоугольного треугольника с катетами равными половинам диагоналей. То есть \( AB = \sqrt{\left(\frac{16}{2}\right)^2 + \left(\frac{12}{2}\right)^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \) см.

Далее вычислим площадь основания ромба. Площадь ромба можно найти по формуле \( S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \), где \( d_1 \) и \( d_2 \) — диагонали. Подставляя значения, получаем \( S = \frac{1}{2} \times 16 \times 12 = 96 \) см². Это значение важно для дальнейших расчётов, так как площадь основания связана с высотой призмы через условие вписанного шара.

Из условия задачи известно, что в призму можно вписать шар. Это возможно, когда высота призмы равна диаметру вписанного шара. В данном случае из решения следует равенство \( \frac{1}{2} \times 16 \times 12 = 10 \times h \), где \( h \) — высота призмы. Отсюда \( h = \frac{96}{10} = 9{,}6 \) см. Теперь найдём площадь боковой поверхности призмы, которая равна произведению периметра основания на высоту. Периметр ромба равен \( P = 4 \times 10 = 40 \) см, следовательно площадь боковой поверхности \( S_{\text{бок}} = P \times h = 40 \times 9{,}6 = 384 \) см².

Ответ: 384 см².