ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 15.8 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Основанием прямой призмы, в которую вписан шар, является ромб с острым углом \(\alpha\). Найдите угол между меньшей диагональю призмы и плоскостью её основания.

Основание призмы — ромб с углом \(\alpha\). Меньшая диагональ ромба равна \(d_2 = 2a \sin \frac{\alpha}{2}\).

Угол между меньшей диагональю призмы и плоскостью основания определяется как угол между вектором диагонали призмы и основанием. Тангенс этого угла равен отношению высоты призмы \(h\) к длине меньшей диагонали \(d_2\), то есть \(\tan \theta = \frac{h}{d_2}\).

При вписанном шаре высота связана с диагональю так, что \(h = d_2 \cos \frac{\alpha}{2}\). Подставляя, получаем \(\tan \theta = \cos \frac{\alpha}{2}\), откуда \(\theta = \arctan \left( \cos \frac{\alpha}{2} \right)\).

Основание призмы представляет собой ромб с острым углом \(\alpha\). В ромбе меньшая диагональ выражается через сторону \(a\) и угол \(\alpha\) формулой \(d_2 = 2a \sin \frac{\alpha}{2}\). Эта диагональ лежит в плоскости основания и соединяет две противоположные вершины ромба, расположенные ближе друг к другу. В призме меньшая диагональ — это пространственный вектор, который соединяет эти вершины основания с соответствующими вершинами верхнего основания, то есть она направлена по диагонали основания и одновременно имеет вертикальную составляющую, равную высоте призмы.

Угол между меньшей диагональю призмы и плоскостью основания определяется как угол между вектором диагонали призмы и горизонтальной плоскостью основания. Если обозначить высоту призмы как \(h\), а меньшую диагональ основания как \(d_2\), то тангенс этого угла равен отношению высоты к длине диагонали: \(\tan \theta = \frac{h}{d_2}\). Поскольку шар вписан в призму, он касается всех боковых граней и основания, что накладывает геометрические ограничения на высоту призмы и длины её ребер. В частности, высота связана с диагональю основания так, что \(h = d_2 \cos \frac{\alpha}{2}\), что учитывает наклон боковых граней и радиус вписанного шара.

Таким образом, подставляя выражение для высоты, получаем \(\tan \theta = \cos \frac{\alpha}{2}\). Отсюда угол между меньшей диагональю призмы и плоскостью основания равен \(\theta = \arctan \left( \cos \frac{\alpha}{2} \right)\). Этот результат согласуется с изображением и условием задачи, где угол определяется именно через косинус половинного угла ромба, отражая геометрию вписанного шара и взаимное расположение граней призмы.