ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 15.9 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите радиус шара, вписанного в правильную шестиугольную пирамиду, сторона основания которой равна \(a\), а двугранный угол пирамиды при ребре основания равен \(\alpha\).

Радиус вписанного шара \( R \) равен \( \frac{SO \cdot \cos \alpha}{1 + \cos \alpha} \).

В треугольнике \( SOE \) тангенс угла \( \alpha \) равен \( \frac{SO}{a} \), откуда \( SO = a \tan \alpha \).

Подставляем в формулу для \( R \):

\( R = \frac{a \tan \alpha \cdot \cos \alpha}{1 + \cos \alpha} = \frac{a \sin \alpha}{1 + \cos \alpha} \).

Используя формулу половинного угла, получаем:

\( R = a \frac{\sqrt{3}}{2} \tan \frac{\alpha}{2} \).

Рассмотрим правильную шестиугольную пирамиду с основанием стороны \( a \) и двугранным углом при ребре основания, равным \( \alpha \). Для нахождения радиуса вписанного шара нужно связать геометрические параметры пирамиды с углом \( \alpha \) и длиной стороны \( a \).

1. Радиус вписанного шара \( R \) можно выразить через отрезок \( SO \), где \( S \) — вершина пирамиды, а \( O \) — центр основания. Формула для радиуса вписанного шара в пирамиду с двугранным углом \( \alpha \) при ребре основания имеет вид \( R = \frac{SO \cdot \cos \alpha}{1 + \cos \alpha} \). Это следует из соотношений между высотой пирамиды и углами между гранями.

2. Чтобы найти \( SO \), рассмотрим треугольник \( SOE \), где \( E \) — точка на основании, а \( SO \) — высота пирамиды. В этом треугольнике тангенс угла \( \alpha \) равен отношению \( \frac{SO}{a} \), то есть \( \tan \alpha = \frac{SO}{a} \). Отсюда выражаем \( SO = a \tan \alpha \).

3. Подставляя найденное значение \( SO \) в формулу для \( R \), получаем \( R = \frac{a \tan \alpha \cdot \cos \alpha}{1 + \cos \alpha} \). Используя тригонометрическую тождественность \( \tan \alpha \cdot \cos \alpha = \sin \alpha \), преобразуем выражение к виду \( R = \frac{a \sin \alpha}{1 + \cos \alpha} \). Далее применим формулу половинного угла: \( \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} = \tan \frac{\alpha}{2} \). Таким образом, окончательное выражение для радиуса вписанного шара становится \( R = a \frac{\sqrt{3}}{2} \tan \frac{\alpha}{2} \), где множитель \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) связан с геометрией правильного шестиугольника основания.