ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 16.10 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Диагональ осевого сечения цилиндра образует с высотой цилиндра угол \(\alpha\). Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если радиус шара, описанного около него, равен \(R\).

Диагональ осевого сечения цилиндра равна \(d = 2R\).
Она образует с высотой угол \(\alpha\), значит \(h = d \cos \alpha = 2R \cos \alpha\).

По теореме Пифагора \(d^2 = h^2 + (2r)^2\), откуда \(4R^2 = h^2 + 4r^2\).
Подставляем \(h\):
\(4R^2 = (2R \cos \alpha)^2 + 4r^2 = 4R^2 \cos^2 \alpha + 4r^2\).

Вычисляем \(r\):
\(r^2 = R^2 (1 — \cos^2 \alpha) = R^2 \sin^2 \alpha\), значит \(r = R \sin \alpha\).

Площадь боковой поверхности:
\(S = 2 \pi r h = 2 \pi (R \sin \alpha)(2R \cos \alpha) = 4 \pi R^2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \pi R^2 \sin 2\alpha\).

Диагональ осевого сечения цилиндра — это отрезок, соединяющий две точки на основании и верхнем основании цилиндра, проходящий через центр сечения. Ее длина равна \(d\), и она связана с высотой \(h\) и диаметром основания \(2r\) через теорему Пифагора: \(d^{2} = h^{2} + (2r)^{2}\). Поскольку шар описан около цилиндра и касается его по диагонали, радиус шара \(R\) равен половине диагонали, то есть \(R = \frac{d}{2}\), откуда следует \(d = 2R\).

Далее, известно, что диагональ образует с высотой цилиндра угол \(\alpha\). По определению косинуса угла в прямоугольном треугольнике, прилежащий катет (высота \(h\)) равен гипотенузе (\(d\)) умноженной на косинус угла: \(h = d \cos \alpha\). Подставляя \(d = 2R\), получаем \(h = 2R \cos \alpha\). Это выражение связывает высоту цилиндра с радиусом описанного шара и углом \(\alpha\).

Для нахождения радиуса основания \(r\) используем исходное уравнение диагонали: \(4R^{2} = h^{2} + 4r^{2}\). Подставляем найденное \(h\): \(4R^{2} = (2R \cos \alpha)^{2} + 4r^{2} = 4R^{2} \cos^{2} \alpha + 4r^{2}\). Переносим известные члены в левую часть: \(4R^{2} — 4R^{2} \cos^{2} \alpha = 4r^{2}\), что упрощается до \(4R^{2} \sin^{2} \alpha = 4r^{2}\), и, разделив обе части на 4, получаем \(r^{2} = R^{2} \sin^{2} \alpha\), значит \(r = R \sin \alpha\).

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле \(S = 2 \pi r h\). Подставляя выражения для \(r\) и \(h\), получаем \(S = 2 \pi (R \sin \alpha)(2R \cos \alpha) = 4 \pi R^{2} \sin \alpha \cos \alpha\). Используя формулу двойного угла для синуса, \(\sin 2 \alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha\), преобразуем выражение к виду \(S = 2 \pi R^{2} \sin 2 \alpha\).