ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 16.11 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Радиус основания цилиндра равен \(r\), а радиус шара, описанного около этого цилиндра, равен \(R\). Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Площадь боковой поверхности цилиндра \(S_{\text{бок.п.}} = 2 \pi r H\).

Высота цилиндра \(H = 2 \sqrt{R^2 — r^2}\).

Подставляем \(H\) в формулу площади:

\(S_{\text{бок.п.}} = 2 \pi r \cdot 2 \sqrt{R^2 — r^2} = 4 \pi r \sqrt{R^2 — r^2}\).

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле \(S_{\text{бок.п.}} = 2 \pi r H\), где \(r\) — радиус основания цилиндра, а \(H\) — его высота. Для вычисления площади боковой поверхности необходимо знать высоту цилиндра, которая в данной задаче не дана напрямую, но может быть найдена через радиус описанного шара.

Так как цилиндр описан около шара радиуса \(R\), то высота цилиндра связана с радиусом основания и радиусом шара. Высота цилиндра равна длине отрезка, проходящего через центр шара и ограниченного поверхностью цилиндра. Этот отрезок можно выразить через радиус шара и радиус основания цилиндра по формуле \(H = 2 \sqrt{R^2 — r^2}\). Здесь используется теорема Пифагора, так как высота цилиндра — это диаметр шара минус два радиуса основания по вертикали.

Подставляя найденное выражение для высоты \(H\) в формулу площади боковой поверхности, получаем \(S_{\text{бок.п.}} = 2 \pi r \cdot 2 \sqrt{R^2 — r^2} = 4 \pi r \sqrt{R^2 — r^2}\). Таким образом, площадь боковой поверхности цилиндра зависит от радиуса основания \(r\) и радиуса описанного шара \(R\), и вычисляется по формуле \(4 \pi r \sqrt{R^2 — r^2}\).