ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 16.13 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Радиус описанного около конуса шара равен \(R\). Образующую конуса видно из центра этого шара под углом \(\alpha\). Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Радиус основания конуса \(cdB\) находим по теореме косинусов: \(cdB^2 = 2R^2 — 2R^2 \cos 2\alpha\).

Используем формулу \(1 — \cos 2\alpha = 2 \sin^2 \alpha\), тогда \(cdB = R \sin \alpha\).

Площадь боковой поверхности конуса равна \(S_{\text{бок. п.}} = \pi R \cdot cdB = 2 \pi R^2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \pi R^2 \sin 2\alpha\).

Рассмотрим конус, описанный около шара радиуса \(R\). Центр шара совпадает с вершиной конуса. Образующая конуса видна из центра шара под углом \(2\alpha\), то есть угол между двумя образующими равен \(2\alpha\). Чтобы найти площадь боковой поверхности конуса, сначала нужно определить радиус основания конуса.

Радиус основания конуса равен длине хорды \(cdB\), которую образуют концы двух образующих, видимых из центра шара под углом \(2\alpha\). Применим теорему косинусов к треугольнику с вершинами в центре шара и концах образующих. Получаем: \(cdB^2 = R^2 + R^2 — 2 R \cdot R \cos 2\alpha = 2 R^2 (1 — \cos 2\alpha)\). Используя формулу для двойного угла, \(1 — \cos 2\alpha = 2 \sin^2 \alpha\), подставляем и получаем \(cdB^2 = 4 R^2 \sin^2 \alpha\), откуда \(cdB = 2 R \sin \alpha\).

Длина образующей конуса равна радиусу шара \(R\), так как конус описан около шара. Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле \(S_{\text{бок}} = \pi r l\), где \(r\) — радиус основания, а \(l\) — образующая. Подставляя найденные значения, получаем \(S_{\text{бок}} = \pi \cdot 2 R \sin \alpha \cdot R = 2 \pi R^2 \sin \alpha\). Таким образом, площадь боковой поверхности конуса равна \(2 \pi R^2 \sin \alpha\).