ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 16.14 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Радиус описанного около конуса шара равен \(R\). Образующую конуса видно из центра этого шара под углом \(\alpha\). Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Дано: радиусы оснований усечённого конуса 5 и 8, высота 9. Обозначим радиус описанного шара через \( R \).

Пусть \( OO_1 = \sqrt{R^2 — 25} \), \( OO_2 = \sqrt{R^2 — 64} \). По условию \( OO_1 + OO_2 = 9 \).

Возводим в квадрат: \( ( \sqrt{R^2 — 25} + \sqrt{R^2 — 64} )^2 = 9^2 \), получаем \( R^2 — 25 + R^2 — 64 + 2 \sqrt{(R^2 — 25)(R^2 — 64)} = 81 \).

Упрощаем: \( 2R^2 — 89 + 2 \sqrt{(R^2 — 25)(R^2 — 64)} = 81 \), откуда \( 2 \sqrt{(R^2 — 25)(R^2 — 64)} = 170 — 2R^2 \).

Возводим в квадрат ещё раз: \( 4 (R^2 — 25)(R^2 — 64) = (170 — 2R^2)^2 \).

Раскрываем скобки и упрощаем: \( 4R^4 — 356R^2 + 6400 = 28900 — 680R^2 + 4R^4 \).

Сокращаем: \( 324R^2 = 22500 \), значит \( R^2 = \frac{625}{9} \).

Следовательно, \( R = \frac{25}{3} \) см.

Рассмотрим усечённый конус с радиусами оснований 5 и 8 и высотой 9. Требуется найти радиус \( R \) шара, который описан вокруг этого усечённого конуса. Для этого введём точки касания шара с основаниями конуса и обозначим расстояния от центра шара до этих оснований через \( OO_1 \) и \( OO_2 \). Из геометрии шара и конуса известно, что \( OO_1 = \sqrt{R^{2} — 5^{2}} = \sqrt{R^{2} — 25} \) и \( OO_2 = \sqrt{R^{2} — 8^{2}} = \sqrt{R^{2} — 64} \).

Поскольку высота усечённого конуса равна 9, то сумма этих расстояний равна высоте, то есть \( OO_1 + OO_2 = 9 \). Подставим выражения для \( OO_1 \) и \( OO_2 \) и получим уравнение \( \sqrt{R^{2} — 25} + \sqrt{R^{2} — 64} = 9 \). Чтобы избавиться от корней, возведём обе части уравнения в квадрат: \( ( \sqrt{R^{2} — 25} + \sqrt{R^{2} — 64} )^{2} = 9^{2} \), что даёт \( R^{2} — 25 + R^{2} — 64 + 2 \sqrt{(R^{2} — 25)(R^{2} — 64)} = 81 \). Упростим левую часть: \( 2 R^{2} — 89 + 2 \sqrt{(R^{2} — 25)(R^{2} — 64)} = 81 \).

Переносим известные числа и выражаем корень: \( 2 \sqrt{(R^{2} — 25)(R^{2} — 64)} = 81 — 2 R^{2} + 89 = 170 — 2 R^{2} \). Далее снова возводим обе части в квадрат, чтобы избавиться от корня: \( 4 (R^{2} — 25)(R^{2} — 64) = (170 — 2 R^{2})^{2} \). Раскрывая скобки слева, получаем \( 4 (R^{4} — 64 R^{2} — 25 R^{2} + 1600) = 28900 — 680 R^{2} + 4 R^{4} \). Упрощая левую часть, имеем \( 4 R^{4} — 356 R^{2} + 6400 = 28900 — 680 R^{2} + 4 R^{4} \).

Сокращаем одинаковые слагаемые \( 4 R^{4} \) с обеих сторон и переносим всё в одну сторону: \( -356 R^{2} + 6400 — 28900 + 680 R^{2} = 0 \), что упрощается до \( 324 R^{2} — 22500 = 0 \). Отсюда \( 324 R^{2} = 22500 \), и решая относительно \( R^{2} \), получаем \( R^{2} = \frac{22500}{324} = \frac{625}{9} \). Значит радиус описанного шара равен \( R = \frac{25}{3} \) сантиметров.