ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 16.15 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Образующая усечённого конуса равна \(2\sqrt{3}\) см, а радиус меньшего основания — \(\sqrt{3}\) см. Найдите радиус сферы, описанной около данного усечённого конуса, если угол между его образующей и большим основанием равен 60°.

Дано: образующая \(l = 2\sqrt{3}\), радиус меньшего основания \(r = \sqrt{3}\), угол между образующей и большим основанием \(60^\circ\).

Радиус большего основания \(R_b = l \cos 60^\circ = 2\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{3}\).

Радиус сферы, описанной около усечённого конуса, равен \(R = 2\sqrt{3}\).

Образующая усечённого конуса равна \(l = 2\sqrt{3}\), радиус меньшего основания \(r = \sqrt{3}\), а угол между образующей и плоскостью большого основания равен \(60^\circ\). Для начала найдём радиус большего основания. Поскольку угол между образующей и большим основанием равен \(60^\circ\), то проекция образующей на радиус большего основания равна \(l \cos 60^\circ\). Таким образом, радиус большего основания \(R_b\) можно вычислить по формуле \(R_b = l \cos 60^\circ\).

Подставим известные значения: \(R_b = 2\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{3}\). Это показывает, что радиусы обоих оснований равны, то есть усечённый конус на самом деле является цилиндром с радиусом основания \( \sqrt{3} \). Теперь рассмотрим сферу, описанную около этого тела. Радиус описанной сферы для усечённого конуса определяется через длину образующей, так как сфера касается всех точек образующей и оснований.

Радиус сферы, описанной около усечённого конуса, равен длине образующей \(l\), то есть \(R = 2\sqrt{3}\). Это связано с тем, что сфера касается и оснований, и боковой поверхности, поэтому её радиус равен длине образующей. Итоговый ответ: радиус описанной сферы равен \(2\sqrt{3}\).