ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 16.17 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В конус с образующей \(b\) и углом \(\alpha\) при вершине осевого сечения вписан шар. Найдите радиус шара.

В треугольнике по теореме косинусов \(AC^2 = AB^2 + BC^2 — 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \alpha\). Подставляем \(AB = BC = b\), получаем \(AC = 2b \sin \frac{\alpha}{2}\).

Полупериметр \(p = \frac{b + b + AC}{2} = b + b \sin \frac{\alpha}{2}\).

Радиус вписанного шара \(R = \sqrt{\frac{b^2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}}{4}} \cdot \left(b — b \sin \frac{\alpha}{2}\right) = b \sin \frac{\alpha}{2} \cdot \tan \left(45^\circ — \frac{\alpha}{4}\right)\).

Рассмотрим треугольник с равными сторонами \(AB = BC = b\) и углом при вершине \(\alpha\). По теореме косинусов находим сторону \(AC\) как \(AC^2 = b^{2} + b^{2} — 2 b \cdot b \cos \alpha = 2 b^{2} (1 — \cos \alpha)\). Используя формулу для синуса половины угла, получаем \(AC = 2 b \sin \frac{\alpha}{2}\).

Полупериметр треугольника равен \(p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{b + b + 2 b \sin \frac{\alpha}{2}}{2} = b + b \sin \frac{\alpha}{2}\). Чтобы найти радиус вписанного шара, используем формулу для радиуса вписанной окружности в треугольнике: \(r = \frac{S}{p}\), где \(S\) — площадь треугольника. Площадь можно выразить через стороны и угол как \(S = \frac{1}{2} AB \cdot BC \sin \alpha = \frac{1}{2} b^{2} \sin \alpha\).

Подставляем площадь и полупериметр в формулу радиуса: \(R = \frac{S}{p} = \frac{\frac{1}{2} b^{2} \sin \alpha}{b + b \sin \frac{\alpha}{2}} = \frac{b \sin \alpha}{2 (1 + \sin \frac{\alpha}{2})}\). Для упрощения выражения используем тригонометрические тождества. Заметим, что \(1 + \sin \frac{\alpha}{2} = \frac{\cos \left(45^\circ — \frac{\alpha}{4}\right)}{\cos \frac{\alpha}{4}}\), что позволяет представить радиус в виде \(R = b \sin \frac{\alpha}{2} \cdot \tan \left(45^\circ — \frac{\alpha}{4}\right)\).

Таким образом, радиус вписанного шара в конус с образующей \(b\) и углом при вершине \(\alpha\) равен \(R = b \sin \frac{\alpha}{2} \cdot \tan \left(45^\circ — \frac{\alpha}{4}\right)\). Это выражение учитывает геометрические свойства конуса и его осевого сечения, обеспечивая точное вычисление радиуса вписанного шара.