ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 16.2 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Высота цилиндра равна \( \frac{4\sqrt{3}}{3} \) см, а диагональ осевого сечения образует с плоскостью основания угол 60°. Найдите радиус сферы, описанной около данного цилиндра.

Высота цилиндра \(h = 4 \sqrt{3}\).

Угол между диагональю и основанием \(60^\circ\), значит \(\sin 60^\circ = \frac{h}{d}\), где \(d\) — диагональ осевого сечения.

Диагональ \(d = \frac{4 \sqrt{3}}{\sin 60^\circ} = \frac{4 \sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 8\).

Радиус описанной сферы равен половине диагонали \(R = \frac{d}{2} = 4\).

Высота цилиндра равна \(h = 4 \sqrt{3}\). Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник с высотой \(h\) и шириной, равной диаметру основания, то есть \(2R\), где \(R\) — радиус основания цилиндра. Диагональ этого прямоугольника обозначим через \(d\). По условию угол между диагональю и плоскостью основания равен \(60^\circ\). Этот угол равен углу между диагональю и основанием прямоугольника, поэтому можно записать соотношение для синуса угла: \(\sin 60^\circ = \frac{h}{d}\).

Диагональ \(d\) вычисляется как гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами \(h\) и \(2R\), то есть \(d = \sqrt{h^2 + (2R)^2}\). Подставляя в формулу для синуса, получаем уравнение \(\sin 60^\circ = \frac{h}{\sqrt{h^2 + (2R)^2}}\). Из этого выражения можно выразить диагональ \(d = \frac{h}{\sin 60^\circ}\). Подставляя значения, получаем \(d = \frac{4 \sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 8\).

Радиус сферы, описанной около цилиндра, равен половине диагонали прямоугольного параллелепипеда, образованного цилиндром, то есть \(R = \frac{d}{2}\). Подставляя найденное значение диагонали, получаем \(R = \frac{8}{2} = 4\). Таким образом, радиус описанной сферы равен 4.