ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 16.21 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Угол между образующей усечённого конуса и плоскостью большего основания равен \(\alpha\). Найдите радиус шара, вписанного в данный усечённый конус, и радиусы оснований усечённого конуса, если его образующая равна \(b\).

Радиус вписанного шара равен половине произведения образующей \(b\) на синус угла \(\alpha\): \(R = \frac{1}{2} b \sin \alpha\).

Радиус большего основания усечённого конуса равен произведению образующей \(b\) на квадрат косинуса половины угла \(\alpha\): \(r_1 = b \cos^2 \frac{\alpha}{2}\).

Радиус меньшего основания равен произведению образующей \(b\) на квадрат синуса половины угла \(\alpha\): \(r_2 = b \sin^2 \frac{\alpha}{2}\).

Радиус вписанного шара \(R\) в усечённый конус определяется как половина произведения образующей \(b\) на синус угла \(\alpha\) между образующей и плоскостью большего основания. Это связано с тем, что вписанный шар касается боковой поверхности и обоих оснований, а высота усечённого конуса связана с длиной образующей и углом \(\alpha\). Поэтому \(R = \frac{1}{2} b \sin \alpha\).

Радиус большего основания \(r_1\) усечённого конуса выражается через образующую \(b\) и угол \(\alpha\) как произведение \(b\) на квадрат косинуса половины угла \(\alpha\). Это следует из геометрических свойств конуса и тригонометрических соотношений, так как радиус основания — это проекция образующей на плоскость основания, учитывая угол между ними. Формула: \(r_1 = b \cos^2 \frac{\alpha}{2}\).

Радиус меньшего основания \(r_2\) определяется аналогично, но с использованием квадрата синуса половины угла \(\alpha\), так как меньшая основа расположена под углом, дополняющим угол большего основания. Радиус \(r_2\) равен произведению образующей \(b\) на \(\sin^2 \frac{\alpha}{2}\), то есть \(r_2 = b \sin^2 \frac{\alpha}{2}\). Эти формулы позволяют найти все необходимые радиусы, исходя из длины образующей и угла \(\alpha\).