ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 16.22 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Радиус основания конуса равен 4 см, а радиус описанного около него шара — 5 см. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Радиус описанного шара \( R = \frac{r^2 + h^2}{2h} \). Подставляем \( R = 5 \), \( r = 4 \):

\( 5 = \frac{16 + h^2}{2h} \)

\( 10h = 16 + h^2 \)

\( h^2 — 10h + 16 = 0 \).

Решаем квадратное уравнение:

\( h = \frac{10 \pm \sqrt{100 — 64}}{2} = \frac{10 \pm 6}{2} \).

Получаем \( h = 8 \) или \( h = 2 \).

Образующая \( l = \sqrt{r^2 + h^2} \).

Для \( h = 8 \): \( l = \sqrt{16 + 64} = \sqrt{80} = 4 \sqrt{5} \).

Для \( h = 2 \): \( l = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2 \sqrt{5} \).

Площадь боковой поверхности \( S_{\text{бок}} = \pi r l \).

Для \( h = 8 \): \( S_{\text{бок}} = \pi \cdot 4 \cdot 4 \sqrt{5} = 16 \pi \sqrt{5} \).

Для \( h = 2 \): \( S_{\text{бок}} = \pi \cdot 4 \cdot 2 \sqrt{5} = 8 \pi \sqrt{5} \).

1. Для конуса с радиусом основания \( r = 4 \) см и высотой \( h \) радиус описанного около него шара \( R \) выражается формулой \( R = \frac{r^{2} + h^{2}}{2h} \). В условии дано, что \( R = 5 \) см, значит подставляем значения в формулу: \( 5 = \frac{16 + h^{2}}{2h} \). Умножая обе части на \( 2h \), получаем уравнение \( 10h = 16 + h^{2} \). Переносим все в одну сторону: \( h^{2} — 10h + 16 = 0 \). Это квадратное уравнение относительно \( h \), которое нужно решить.

2. Решаем квадратное уравнение \( h^{2} — 10h + 16 = 0 \) по формуле корней: \( h = \frac{10 \pm \sqrt{10^{2} — 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{100 — 64}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{36}}{2} \). Корни равны \( h = \frac{10 + 6}{2} = 8 \) и \( h = \frac{10 — 6}{2} = 2 \). Таким образом, высота конуса может принимать два значения: \( 8 \) см или \( 2 \) см.

3. Образующая конуса \( l \) вычисляется по теореме Пифагора как \( l = \sqrt{r^{2} + h^{2}} \). Для первого варианта с \( h = 8 \) получаем \( l = \sqrt{16 + 64} = \sqrt{80} = 4 \sqrt{5} \). Для второго варианта с \( h = 2 \) вычисляем \( l = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2 \sqrt{5} \). Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле \( S_{\text{бок}} = \pi r l \). Подставляя значения для первого варианта: \( S_{\text{бок}} = \pi \cdot 4 \cdot 4 \sqrt{5} = 16 \pi \sqrt{5} \). Для второго варианта: \( S_{\text{бок}} = \pi \cdot 4 \cdot 2 \sqrt{5} = 8 \pi \sqrt{5} \). Таким образом, площадь боковой поверхности конуса равна либо \( 16 \pi \sqrt{5} \), либо \( 8 \pi \sqrt{5} \) см².