ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 16.24 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Радиус шара, вписанного в конус, равен \(r\). Образующую конуса видно из центра вписанного шара под углом \(\alpha\). Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Радиус основания конуса \( R = r \tan \alpha \).

Длина образующей \( l = \frac{r \tan \alpha}{\cos 2 \alpha} \).

Площадь боковой поверхности конуса \( S = \pi R l = \pi r \tan \alpha \cdot \frac{r \tan \alpha}{\cos 2 \alpha} = \frac{\pi r^{2} \tan^{2} \alpha}{\cos 2 \alpha} \).

Так как при углах, где \(\cos 2 \alpha < 0\), площадь должна быть положительной, вводится минус:

\( S = — \frac{\pi r^{2} \tan^{2} \alpha}{\cos 2 \alpha} \).

1. Вписанный шар касается основания конуса и его боковой поверхности, поэтому центр шара находится на оси конуса на расстоянии \( h — r \) от вершины, где \( h \) — высота конуса, а \( r \) — радиус шара. Из центра шара образующую конуса видно под углом \( 2 \alpha \), что означает, что угол между двумя касательными к образующей равен \( 2 \alpha \). Радиус основания конуса \( R \) равен расстоянию от оси до точки касания образующей, и его можно выразить через радиус шара и угол: \( R = r \tan \alpha \).

2. Длина образующей конуса \( l \) связана с радиусом \( R \) и высотой \( h \) по формуле \( l = \sqrt{h^{2} + R^{2}} \). Учитывая, что центр шара находится на расстоянии \( r \) от боковой поверхности, и используя тригонометрические соотношения в треугольнике, образованном центром шара и точками касания, получаем выражение для \( l \) через \( r \) и \( \alpha \): \( l = \frac{r \tan \alpha}{\cos 2 \alpha} \).

3. Площадь боковой поверхности конуса равна произведению полупериметра основания на образующую, то есть \( S = \pi R l \). Подставляя найденные выражения для \( R \) и \( l \), получаем: \( S = \pi r \tan \alpha \cdot \frac{r \tan \alpha}{\cos 2 \alpha} = \frac{\pi r^{2} \tan^{2} \alpha}{\cos 2 \alpha} \). Поскольку при некоторых значениях угла \( \alpha \) функция \( \cos 2 \alpha \) отрицательна, для получения положительного значения площади вводится минус: \( S = — \frac{\pi r^{2} \tan^{2} \alpha}{\cos 2 \alpha} \).