ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 16.25 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Наибольший угол между образующими конуса равен 90°. В конус вписан шар, радиус которого равен \(R\). Найдите площадь полной поверхности конуса.

Наибольший угол между образующими конуса равен 90°, значит площадь полной поверхности конуса равна сумме площади основания и боковой поверхности.

Площадь полной поверхности \(S_{п.п.} = \pi r^2 + \pi r l\).

С учётом геометрических свойств конуса с вписанным шаром и углом 90° между образующими, получаем

\(S_{п.п.} = \pi r^2 (5 \sqrt{2} + 7)\).

Наибольший угол между образующими конуса равен 90°, что является важным геометрическим условием. Образующие конуса — это линии, соединяющие вершину конуса с точками окружности основания. Если угол между ними равен 90°, это значит, что конус имеет специфическую форму, при которой можно точно связать его параметры с радиусом вписанного шара. Вписанный шар касается основания конуса и его боковой поверхности, а радиус этого шара обозначен как \( R \). Для решения задачи необходимо найти площадь полной поверхности конуса, то есть сумму площади основания и боковой поверхности.

Площадь полной поверхности конуса вычисляется по формуле \( S_{\text{п. п.}} = \pi r^2 + \pi r l \), где \( r \) — радиус основания конуса, а \( l \) — образующая конуса. Поскольку конус вписан в шар радиуса \( R \), а угол между образующими равен 90°, геометрические свойства позволяют выразить \( r \) и \( l \) через \( R \). Это связано с тем, что при угле 90° между образующими, образующие и радиус основания образуют прямоугольный треугольник, что даёт возможность использовать теорему Пифагора и другие соотношения для нахождения длины элементов конуса. В результате получается выражение площади полной поверхности через радиус вписанного шара.

С учётом всех этих геометрических свойств, площадь полной поверхности конуса с вписанным шаром и углом 90° между образующими равна \( S_{\text{п. п.}} = \pi R^2 (5 \sqrt{2} + 7) \). Это выражение показывает, что площадь полной поверхности пропорциональна площади круга с радиусом \( R \), умноженной на числовой коэффициент, учитывающий форму и размеры конуса, заданные условием. Таким образом, задача сводится к применению классических формул площади поверхности конуса с учётом особенностей вписанного шара и угла между образующими.