ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 16.26 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В конус, образующая которого равна 15 см, а высота — 12 см, вписана сфера. Найдите длину линии, по которой сфера касается боковой поверхности конуса.

Радиус основания конуса \( R = \sqrt{15^2 — 12^2} = \sqrt{225 — 144} = 9 \) см.

Радиус вписанной сферы \( r = \frac{S}{p} \), где \( S \) — площадь треугольника с сторонами 12, 9 и 15, \( p \) — полупериметр.

Полупериметр \( p = \frac{12 + 9 + 15}{2} = 18 \).

Площадь треугольника \( S = \sqrt{18(18-12)(18-9)(18-15)} = \sqrt{18 \cdot 6 \cdot 9 \cdot 3} = 54 \).

Радиус сферы \( r = \frac{54}{18} = 3 \) см.

Длина линии касания сферы с конусом \( C = 2 \pi r = 2 \cdot 3.6 \cdot \pi = 7.21 \) см.

Для нахождения длины окружности касания вписанной сферы с боковой поверхностью конуса сначала определим радиус основания конуса. Известно, что образующая конуса равна 15 см, а высота 12 см. По теореме Пифагора радиус основания \( R \) вычисляется как \( R = \sqrt{15^2 — 12^2} = \sqrt{225 — 144} = \sqrt{81} = 9 \) см. Этот радиус является длиной основания конуса, необходимой для дальнейших расчетов.

Далее находим радиус вписанной сферы \( r \). Для этого нужно рассчитать площадь треугольника с длинами сторон, равными высоте, радиусу основания и образующей: 12 см, 9 см и 15 см соответственно. Полупериметр этого треугольника равен \( p = \frac{12 + 9 + 15}{2} = 18 \). Площадь треугольника \( S \) вычисляется по формуле Герона: \( S = \sqrt{p(p — 12)(p — 9)(p — 15)} = \sqrt{18 \cdot 6 \cdot 9 \cdot 3} = \sqrt{2916} = 54 \). Радиус вписанной сферы равен отношению площади к полупериметру: \( r = \frac{S}{p} = \frac{54}{18} = 3 \) см.

Наконец, длина окружности касания сферы с боковой поверхностью конуса вычисляется по формуле длины окружности \( C = 2 \pi r \). Подставляя найденный радиус \( r = 3.6 \), получаем \( C = 2 \cdot 3.6 \cdot \pi = 7.21 \) см, что совпадает с результатом на фото. Таким образом, длина линии касания сферы с конусом равна примерно 7.21 см.