ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 16.27 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Угол между образующей конуса и плоскостью основания равен \(\alpha\), а радиус основания — \(R\). В конус вписан шар. Найдите расстояние от вершины конуса до плоскости круга, окружность которого является линией касания шара и боковой поверхности конуса.

Рассмотрим конус с радиусом основания \(R\) и углом между образующей и основанием \(\alpha\). Вписанный шар касается основания и боковой поверхности конуса.

Расстояние \(p\) от вершины конуса до плоскости круга касания шара и боковой поверхности вычисляется по формуле \(p = 2R \tan \alpha \sin^2 \frac{\alpha}{2}\).

Здесь \(\tan \alpha\) — тангенс угла между образующей и основанием, а \(\sin^2 \frac{\alpha}{2}\) — квадрат синуса половины этого угла.

В конусе с радиусом основания \(R\) и углом между образующей и основанием \(\alpha\) вписан шар. Нужно найти расстояние \(p\) от вершины конуса до плоскости круга касания шара и боковой поверхности конуса. Этот круг — линия касания шара с боковой поверхностью.

Для решения рассмотрим, что образующая конуса образует угол \(\alpha\) с основанием. Радиус основания равен \(R\), а высота конуса связана с радиусом и углом. Вписанный шар касается основания и боковой поверхности, поэтому центр шара лежит на оси конуса, а его касательная окружность находится на некотором расстоянии от вершины.

Расстояние \(p\) от вершины конуса до плоскости касания шара с боковой поверхностью выражается через радиус основания и угол \(\alpha\). Формула учитывает тангенс угла \(\alpha\) и квадрат синуса половины угла, так как касательная окружность формируется именно в этой зоне. Конечная формула имеет вид \(p = 2R \tan \alpha \sin^2 \frac{\alpha}{2}\), где \(\tan \alpha\) — тангенс угла, а \(\sin^2 \frac{\alpha}{2}\) — квадрат синуса половины угла \(\alpha\).