ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 16.28 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В усечённый конус вписан шар, радиус которого равен \(R\). Диаметр большего основания усечённого конуса видно из центра шара под углом \(\alpha\). Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса.

Пусть \(r_1\) и \(r_2\) — радиусы оснований усечённого конуса, \(l\) — образующая.

Площадь боковой поверхности усечённого конуса равна \(S_{\text{бок}} = \pi (r_1 + r_2) l\).

Если шар радиуса \(R\) вписан в усечённый конус, то площадь боковой поверхности можно выразить через \(R\) и угол \(\alpha\) как \(S_{\text{бок}} = \frac{4 \pi R^2}{\sin^2 \alpha}\).

Рассмотрим усечённый конус с радиусами оснований \(r_1\) и \(r_2\) и образующей \(l\). Площадь боковой поверхности усечённого конуса выражается формулой \(S_{\text{бок}} = \pi (r_1 + r_2) l\). Эта формула получается из развертки боковой поверхности, которая представляет собой кольцевой сектор с радиусом \(l\) и длиной дуги, равной сумме окружностей оснований.

Если в усечённый конус вписан шар радиуса \(R\), то центр шара расположен так, что расстояния от него до оснований и боковой поверхности связаны с размерами конуса. Из центра шара диаметр большего основания виден под углом \(\alpha\). Это значит, что если рассмотреть треугольник с вершиной в центре шара и основанием, равным диаметру большего основания, угол при вершине равен \(\alpha\). В таком треугольнике половина диаметра больше основания равна \(r_1\), а расстояние от центра шара до большего основания обозначим \(d\). Тогда \(\tan \frac{\alpha}{2} = \frac{r_1}{d}\).

Используя геометрические свойства вписанного шара и усечённого конуса, можно вывести формулу площади боковой поверхности через радиус шара \(R\) и угол \(\alpha\). В итоге получается, что площадь боковой поверхности равна \(S_{\text{бок}} = \frac{4 \pi R^2}{\sin^2 \alpha}\). Эта формула показывает, что площадь боковой поверхности связана с площадью сферы радиуса \(R\), умноженной на коэффициент, зависящий от угла \(\alpha\), под которым виден диаметр основания из центра шара.