ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 16.30 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В треугольник \(ABC\) вписан ромб \(AMFK\) так, что угол \(A\) у них общий, а вершина \(F\) принадлежит стороне \(BC\). Найдите сторону ромба, если \(AB=10\) см, \(AC=15\) см.

Треугольники \(ABC\) и \(AMF\) подобны, так как угол \(A\) общий.

Из подобия имеем отношение сторон: \(\frac{MB}{AB} = \frac{MF}{AC}\).

Обозначим сторону ромба \(AM = MF = x\), тогда \(MB = 10 — x\).

Подставляем в уравнение: \(\frac{10 — x}{10} = \frac{x}{15}\).

Решаем: \(15(10 — x) = 10x\), \(150 — 15x = 10x\), \(150 = 25x\), \(x = 6\).

Сторона ромба равна 6 см.

Ромб \(AMFK\) вписан в треугольник \(ABC\) так, что угол при вершине \(A\) у ромба совпадает с углом треугольника. Это означает, что треугольники \(ABC\) и \(AMF\) подобны, так как у них есть общий угол \(A\), а также углы при вершинах \(B\) и \(F\) равны, поскольку \(AMFK\) — ромб с равными сторонами и равными углами при \(A\) и \(M\). Из подобия треугольников следует, что отношения соответствующих сторон равны.

Обозначим сторону ромба через \(x\), тогда \(AM = MF = x\). Поскольку \(AB = 10\) см, длина отрезка \(MB\) равна \(10 — x\). Сторона \(AC = 15\) см. По признаку подобия треугольников можно записать равенство отношений: \(\frac{MB}{AB} = \frac{MF}{AC}\), то есть \(\frac{10 — x}{10} = \frac{x}{15}\). Это уравнение связывает сторону ромба \(x\) с известными сторонами треугольника.

Решая уравнение \(15(10 — x) = 10x\), раскрываем скобки: \(150 — 15x = 10x\), переносим все слагаемые с \(x\) в одну сторону: \(150 = 25x\), откуда \(x = \frac{150}{25} = 6\). Таким образом, сторона ромба равна 6 см. Это значение удовлетворяет условию вписанности ромба и совпадению угла при вершине \(A\) с углом треугольника.