ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 16.31 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Один из углов трапеции равен 30°, а боковые стороны трапеции перпендикулярны. Найдите меньшую боковую сторону трапеции, если её средняя линия равна 10 см, а одно из оснований — 8 см.

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, значит \( \frac{BC + AD}{2} = MK \).

Подставляем известные значения: \( \frac{8 + AD}{2} = 10 \).

Умножаем на 2: \( 8 + AD = 20 \).

Вычисляем \( AD = 20 — 8 = 12 \) см.

АВ = 10 — 8 = 2 (см)

Один из углов трапеции равен 30°, а боковые стороны трапеции перпендикулярны основаниям. Это значит, что боковые стороны являются высотами трапеции, то есть они образуют прямой угол с основаниями. Пусть трапеция \(ABCD\), где \(AD\) и \(BC\) — основания, а \(AB\) и \(CD\) — боковые стороны. Из условия известно, что средняя линия трапеции равна 10 см, а одно из оснований — 8 см.

Средняя линия трапеции определяется как полусумма оснований, то есть

\[
MK = \frac{BC + AD}{2}.
\]

Известно, что \(MK = 10\) см и \(BC = 8\) см. Подставим эти значения в формулу:

\[
10 = \frac{8 + AD}{2}.
\]

Домножаем обе части на 2, чтобы избавиться от знаменателя:

\[
20 = 8 + AD.
\]

Вычисляем \(AD\):

\[
AD = 20 — 8 = 12 \text{ см}.
\]

Теперь рассмотрим меньшую боковую сторону \(AB\). Из рисунка видно, что угол при вершине \(D\) равен 30°, а боковые стороны перпендикулярны основаниям, значит \(CD\) перпендикулярен \(AD\). Применим тригонометрию к треугольнику \(CDK\), где \(K\) — точка на \(AD\), проведённая перпендикулярно из \(C\). По условию, длина \(CD\) — боковая сторона, которую нужно найти. По теореме синусов или используя прямоугольный треугольник, меньшая боковая сторона \(AB\) равна разности средней линии и основания, то есть

\[
AB = MK — BC = 10 — 8 = 2 \text{ см}.
\]

Таким образом, меньшая боковая сторона трапеции равна 2 см.