ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 16.32 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите площадь параллелограмма, построенного как на сторонах на векторах \(\vec{a}(-2; 2; 1)\) и \(\vec{b}(4; 8; 1)\).

Длина вектора \(\vec{a}\) равна \( \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + 1^2} = 3 \).

Длина вектора \(\vec{b}\) равна \( \sqrt{4^2 + 8^2 + 1^2} = 9 \).

Косинус угла между векторами равен \( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{-8 + 16 + 1}{3 \cdot 9} = \frac{1}{3} \).

Синус угла равен \( \sqrt{1 — \left(\frac{1}{3}\right)^2} = \frac{2 \sqrt{2}}{3} \).

Площадь параллелограмма равна \( 3 \cdot 9 \cdot \frac{2 \sqrt{2}}{3} = 18 \sqrt{2} \) см².

Для начала вычислим длину вектора \(\vec{a}\), используя формулу длины вектора: \( |\vec{a}| = \sqrt{a_1^{2} + a_2^{2} + a_3^{2}} \). Подставляя значения, получаем \( |\vec{a}| = \sqrt{(-2)^{2} + 2^{2} + 1^{2}} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3 \). Таким образом, длина первого вектора равна 3.

Далее вычислим длину второго вектора \(\vec{b}\) по той же формуле: \( |\vec{b}| = \sqrt{b_1^{2} + b_2^{2} + b_3^{2}} \). Подставляя компоненты, получаем \( |\vec{b}| = \sqrt{4^{2} + 8^{2} + 1^{2}} = \sqrt{16 + 64 + 1} = \sqrt{81} = 9 \). Значит, длина второго вектора равна 9.

Теперь найдём косинус угла между векторами, используя скалярное произведение: \( \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 \). Подставляем значения: \( \vec{a} \cdot \vec{b} = (-2) \cdot 4 + 2 \cdot 8 + 1 \cdot 1 = -8 + 16 + 1 = 9 \). Косинус угла равен отношению скалярного произведения к произведению длин векторов: \( \cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{9}{3 \cdot 9} = \frac{1}{3} \).

Чтобы найти площадь параллелограмма, нужно вычислить синус угла между векторами, так как площадь равна произведению длин векторов и синуса угла между ними: \( S = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \sin \theta \). Синус угла вычисляется через косинус: \( \sin \theta = \sqrt{1 — \cos^{2} \theta} = \sqrt{1 — \left(\frac{1}{3}\right)^{2}} = \sqrt{1 — \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2 \sqrt{2}}{3} \).

Подставляя найденные значения, получаем площадь: \( S = 3 \cdot 9 \cdot \frac{2 \sqrt{2}}{3} = 9 \cdot 2 \sqrt{2} = 18 \sqrt{2} \) см². Это и есть площадь параллелограмма, построенного на векторах \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\).