ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 16.4 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Образующая конуса длиной 9 см равна диаметру его основания. Найдите радиус сферы, описанной около данного конуса.

Образующая конуса \( l = 9 \) см равна диаметру основания, значит радиус основания \( r = \frac{9}{2} = 4.5 \) см.

Высота конуса \( h = \sqrt{l^2 — r^2} = \sqrt{9^2 — 4.5^2} = \sqrt{81 — 20.25} = \sqrt{60.75} = \frac{9 \sqrt{3}}{2} \) см.

Радиус описанной сферы \( R = \frac{l^2}{2h} = \frac{81}{2 \cdot \frac{9 \sqrt{3}}{2}} = \frac{81}{9 \sqrt{3}} = \frac{9}{\sqrt{3}} = 3 \sqrt{3} \) см.

Образующая конуса \( l = 9 \) см дана и равна диаметру основания конуса, значит диаметр основания \( d = 9 \) см. Радиус основания конуса равен половине диаметра, поэтому \( r = \frac{d}{2} = \frac{9}{2} = 4.5 \) см. Это важный шаг, потому что радиус основания необходим для вычисления высоты конуса, которая вместе с образующей и радиусом образует прямоугольный треугольник.

Высота конуса \( h \) находится по теореме Пифагора в треугольнике с гипотенузой \( l \) и катетом \( r \). Формула для высоты имеет вид \( h = \sqrt{l^2 — r^2} \). Подставляя значения, получаем \( h = \sqrt{9^2 — 4.5^2} = \sqrt{81 — 20.25} = \sqrt{60.75} \). Для удобства вычислений корень можно представить как \( \sqrt{60.75} = \sqrt{\frac{243}{4}} = \frac{\sqrt{243}}{2} = \frac{9 \sqrt{3}}{2} \).

Радиус описанной сферы \( R \) вокруг конуса вычисляется по формуле \( R = \frac{l^2}{2h} \). Подставляя значения, получаем \( R = \frac{9^2}{2 \cdot \frac{9 \sqrt{3}}{2}} = \frac{81}{9 \sqrt{3}} = \frac{9}{\sqrt{3}} \). Упростив дробь, получаем \( R = 3 \sqrt{3} \) см. Таким образом, радиус описанной сферы равен \( 3 \sqrt{3} \) см.