ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 16.5 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите радиус шара, вписанного в цилиндр, диагональ осевого сечения которого равна 8 см.

Диагональ осевого сечения цилиндра равна \( d = 8 \) см. Осевое сечение — прямоугольник со сторонами \( h \) и \( 2r \), где \( r \) — радиус основания цилиндра.

Из теоремы Пифагора: \( h^2 + (2r)^2 = 8^2 \).

Для вписанного шара радиус равен \( r \), а высота цилиндра равна \( h = 2r \).

Подставляем: \( (2r)^2 + (2r)^2 = 64 \), то есть \( 4r^2 + 4r^2 = 64 \).

Получаем \( 8r^2 = 64 \), значит \( r^2 = \frac{64}{8} = 8 \), откуда \( r = 2\sqrt{2} \).

Ответ: \( r = 2\sqrt{2} \) см.

Диагональ осевого сечения цилиндра равна \( d = 8 \) см. Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник, в котором одна сторона — это высота цилиндра \( h \), а другая — диаметр основания \( 2r \), где \( r \) — радиус основания цилиндра. Поскольку диагональ прямоугольника связана с его сторонами по теореме Пифагора, можно записать уравнение \( h^{2} + (2r)^{2} = 8^{2} \).

Вписанный в цилиндр шар касается основания и боковой поверхности цилиндра. Радиус такого шара равен радиусу основания цилиндра, то есть \( R = r \). Высота цилиндра при этом равна диаметру шара, то есть \( h = 2r \). Это связано с тем, что шар полностью помещается внутри цилиндра, касаясь его основания и боковой поверхности.

Подставляя \( h = 2r \) в уравнение диагонали, получаем \( (2r)^{2} + (2r)^{2} = 64 \), что равносильно \( 4r^{2} + 4r^{2} = 64 \). Сложив, получаем \( 8r^{2} = 64 \). Делим обе части на 8, и находим \( r^{2} = \frac{64}{8} = 8 \). Извлекая корень, получаем \( r = 2 \sqrt{2} \). Таким образом, радиус вписанного шара равен \( 2 \sqrt{2} \) см.