ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 16.7 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Образующая конуса равна диаметру его основания. Как радиус сферы, вписанной в данный конус, относится к радиусу описанной около него сферы?

Обозначим радиус основания конуса \( R \), образующую \( l \), высоту \( h \). По условию \( l = 2R \).

Из теоремы Пифагора для треугольника с катетами \( R \) и \( h \) и гипотенузой \( l \) имеем \( l^2 = R^2 + h^2 \), значит \( (2R)^2 = R^2 + h^2 \), откуда \( h = R \sqrt{3} \).

Радиус вписанной сферы равен \( r = \frac{h R}{l + R} = \frac{R \sqrt{3} \cdot R}{2R + R} = \frac{R^2 \sqrt{3}}{3R} = \frac{R \sqrt{3}}{3} \).

Радиус описанной сферы \( R_1 \) находится из уравнения \( R_1 = h — x \), где \( x = \frac{h^2 — R^2}{2h} = \frac{3R^2 — R^2}{2 R \sqrt{3}} = \frac{R}{\sqrt{3}} \), значит \( R_1 = R \sqrt{3} — \frac{R}{\sqrt{3}} = \frac{2R}{\sqrt{3}} \).

Отношение радиусов \( \frac{r}{R_1} = \frac{\frac{R \sqrt{3}}{3}}{\frac{2R}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} \).

1. Пусть радиус основания конуса равен \( R \), образующая равна диаметру основания, значит \( l = 2R \). Высоту конуса \( h \) можно найти из прямоугольного треугольника с катетами \( R \) и \( h \), гипотенузой \( l \). По теореме Пифагора: \( l^2 = R^2 + h^2 \), подставляем \( l = 2R \), получаем \( (2R)^2 = R^2 + h^2 \), то есть \( 4R^2 = R^2 + h^2 \), откуда \( h^2 = 3R^2 \), значит \( h = R \sqrt{3} \).

2. Радиус вписанной сферы \( r \) в конус вычисляется по формуле \( r = \frac{h R}{l + R} \). Подставим известные значения: \( r = \frac{R \sqrt{3} \cdot R}{2R + R} = \frac{R^2 \sqrt{3}}{3R} = \frac{R \sqrt{3}}{3} \). Здесь учитывается, что вписанная сфера касается основания и боковой поверхности конуса, и её центр лежит на оси конуса.

3. Для нахождения радиуса описанной сферы \( R_1 \) вокруг конуса рассмотрим её центр на оси конуса на расстоянии \( x \) от основания. Радиус сферы равен расстоянию от центра до основания и до вершины конуса, значит \( R_1 = \sqrt{R^2 + x^2} \) и одновременно \( R_1 = h — x \). Приравниваем: \( \sqrt{R^2 + x^2} = h — x \), возводим в квадрат: \( R^2 + x^2 = h^2 — 2hx + x^2 \), сокращаем \( x^2 \), получаем \( R^2 = h^2 — 2hx \), откуда \( 2hx = h^2 — R^2 \), следовательно \( x = \frac{h^2 — R^2}{2h} \). Подставляем \( h = R \sqrt{3} \), получаем \( x = \frac{3R^2 — R^2}{2 R \sqrt{3}} = \frac{2R^2}{2 R \sqrt{3}} = \frac{R}{\sqrt{3}} \). Теперь находим радиус описанной сферы: \( R_1 = h — x = R \sqrt{3} — \frac{R}{\sqrt{3}} = R \left( \sqrt{3} — \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = \frac{2R}{\sqrt{3}} \).

4. Отношение радиусов вписанной и описанной сфер равно \( \frac{r}{R_1} = \frac{\frac{R \sqrt{3}}{3}}{\frac{2R}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \). Таким образом, радиус вписанной сферы равен половине радиуса описанной сферы.