ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 16.8 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Угол между образующей конуса и его высотой равен 45°, а расстояние от центра вписанного в конус шара до вершины конуса равно 4 см. Найдите радиус данного шара.

Угол между образующей конуса и высотой равен \(45^\circ\), расстояние от центра вписанного шара до вершины конуса равно 4 см.

Радиус шара равен \(R = BO \sin 45^\circ = 4 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 2 \sqrt{2}\) см.

Ответ: \(R = 2 \sqrt{2}\) см.

Угол между образующей конуса и его высотой равен \(45^\circ\). Это значит, что если мы рассмотрим треугольник, образованный высотой конуса, образующей и горизонтальной проекцией образующей, то угол между высотой и образующей будет ровно \(45^\circ\). Центр вписанного шара \(O\) находится на высоте внутри конуса, и расстояние от этой точки до вершины конуса \(B\) равно 4 см. Это расстояние обозначено как \(BO = 4\).

Поскольку вписанный шар касается боковой поверхности конуса и основания, его радиус \(R\) можно определить через расстояние от центра шара до вершины и угол между высотой и образующей. В прямоугольном треугольнике с углом \(45^\circ\) радиус шара будет равен катету, лежащему напротив этого угла. Таким образом, радиус равен произведению расстояния \(BO\) на синус угла \(45^\circ\), то есть \(R = BO \cdot \sin 45^\circ\).

Подставляя значения, получаем \(R = 4 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 2 \sqrt{2}\) сантиметра. Это и есть искомый радиус вписанного в конус шара, который касается его основания и боковой поверхности, а центр которого находится на расстоянии 4 см от вершины конуса вдоль высоты.