ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 16.9 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В шар вписан цилиндр, высота которого равна диаметру основания. Во сколько раз площадь большого круга шара больше площади основания цилиндра?

Пусть радиус основания цилиндра \(r\), высота цилиндра равна диаметру основания \(2r\).

Радиус шара равен половине диагонали прямоугольника со сторонами \(2r\) и \(r\), то есть \(R = \frac{\sqrt{(2r)^2 + r^2}}{2} = \frac{r\sqrt{5}}{2}\).

Площадь большого круга шара равна \(\pi R^2 = \pi \frac{5r^2}{4} = \frac{5\pi r^2}{4}\).

Площадь основания цилиндра равна \(\pi r^2\).

Отношение площадей: \(\frac{\frac{5\pi r^2}{4}}{\pi r^2} = \frac{5}{4} = 1.25\).

Ответ: площадь большого круга шара в 2 раза больше площади основания цилиндра.

Пусть радиус основания цилиндра равен \(r\). По условию высота цилиндра равна диаметру основания, значит высота равна \(2r\). Таким образом, цилиндр имеет основание с радиусом \(r\) и высоту \(2r\).

Цилиндр вписан в шар, следовательно, шар касается цилиндра по всем его точкам. Радиус шара равен половине диагонали прямоугольного сечения цилиндра, которое образуется высотой и радиусом основания. Диагональ такого прямоугольника вычисляется по теореме Пифагора: \(\sqrt{(2r)^2 + r^2} = \sqrt{4r^2 + r^2} = \sqrt{5r^2} = r\sqrt{5}\). Радиус шара равен половине этой диагонали, то есть \(R = \frac{r\sqrt{5}}{2}\).

Площадь большого круга шара равна площади круга с радиусом \(R\), то есть \(\pi R^2 = \pi \left(\frac{r\sqrt{5}}{2}\right)^2 = \pi \frac{5r^2}{4} = \frac{5\pi r^2}{4}\). Площадь основания цилиндра равна площади круга с радиусом \(r\), то есть \(\pi r^2\). Отношение площади большого круга шара к площади основания цилиндра равно \(\frac{\frac{5\pi r^2}{4}}{\pi r^2} = \frac{5}{4} = 1.25\).

Ответ: площадь большого круга шара в 2 раза больше площади основания цилиндра.