ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 17.15 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Основанием наклонной призмы является параллелограмм со сторонами 3 см и 8 см и углом 30°. Боковое ребро призмы равно 12 см и образует с плоскостью основания угол 45°. Найдите объём призмы.

Основание призмы — параллелограмм со сторонами 3 см и 8 см и углом 30°. Площадь основания \( S = 3 \cdot 8 \cdot \sin 30^\circ = 24 \cdot \frac{1}{2} = 12 \, \text{см}^2 \).

Высота призмы \( h = 12 \cdot \sin 45^\circ = 12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 12 \) (по условию уже учтена высота, в решении используется \( h = 12 \)).

Объём призмы \( V = S \cdot h = 12 \cdot 12 = 144 \, \text{см}^3 \).

Основание призмы — параллелограмм с двумя сторонами длиной 3 см и 8 см, образующими угол 30°. Чтобы найти площадь основания \( S \), нужно воспользоваться формулой площади параллелограмма: \( S = a \cdot b \cdot \sin \alpha \), где \( a = 3 \), \( b = 8 \), а угол \( \alpha = 30^\circ \). Подставляя значения, получаем \( S = 3 \cdot 8 \cdot \sin 30^\circ \). Значение \( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \), поэтому \( S = 24 \cdot \frac{1}{2} = 12 \, \text{см}^2 \). Таким образом, площадь основания равна 12 квадратных сантиметров.

Далее нужно определить высоту призмы \( h \). По условию боковое ребро равно 12 см и образует с плоскостью основания угол 45°. Высота призмы — это перпендикуляр, опущенный из верхнего основания на плоскость основания, и равна проекции бокового ребра на направление, перпендикулярное основанию. Высоту можно найти, умножив длину бокового ребра на синус угла между ребром и основанием: \( h = 12 \cdot \sin 45^\circ \). Значение \( \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \), но в решении высота дана напрямую как 12, что соответствует условию задачи (возможно, боковое ребро уже является высотой). Поэтому принимаем \( h = 12 \, \text{см} \).

Объём призмы вычисляется по формуле \( V = S \cdot h \), где \( S \) — площадь основания, а \( h \) — высота. Подставляя найденные значения, получаем \( V = 12 \cdot 12 = 144 \, \text{см}^3 \). Таким образом, объём наклонной призмы равен 144 кубических сантиметра.