ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 17.16 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Основанием наклонной призмы является треугольник со сторонами \(4\sqrt{3}\) см и 5 см и углом \(120^\circ\) между ними. Боковое ребро призмы равно 20 см и образует с высотой призмы угол \(60^\circ\). Найдите объём призмы.

Объём призмы равен произведению площади основания на высоту. Площадь основания равна \( \frac{1}{2} \times 4\sqrt{3} \times 5 \times \sin 120^\circ = \frac{1}{2} \times 4\sqrt{3} \times 5 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 15 \) см². Высота призмы равна длине бокового ребра \( 20 \) см. Тогда объём равен \( 15 \times 20 = 300 \) см³.

1. Для вычисления объёма призмы необходимо найти площадь её основания и умножить на высоту. Основание призмы — треугольник с двумя сторонами \(4\sqrt{3}\) см и 5 см, между которыми угол \(120^\circ\). Площадь треугольника вычисляется по формуле \(S = \frac{1}{2} ab \sin \alpha\), где \(a = 4\sqrt{3}\), \(b = 5\), \(\alpha = 120^\circ\). Подставляем значения: \(S = \frac{1}{2} \times 4\sqrt{3} \times 5 \times \sin 120^\circ\).

2. Значение \(\sin 120^\circ\) равно \(\frac{\sqrt{3}}{2}\). Тогда площадь основания равна \(S = \frac{1}{2} \times 4\sqrt{3} \times 5 \times \frac{\sqrt{3}}{2}\). Умножаем: \(4\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 4 \times \frac{3}{2} = 6\). Следовательно, \(S = \frac{1}{2} \times 6 \times 5 = 15\) см².

3. Высота призмы равна длине бокового ребра, которая равна 20 см. Объём призмы вычисляется как произведение площади основания на высоту: \(V = S \times h = 15 \times 20 = 300\) см³. Таким образом, объём призмы равен 300 см³.