ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 17.18 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Диагональ правильной четырёхугольной призмы равна \(d\) и образует с плоскостью боковой грани угол \(\alpha\). Найдите объём призмы.

Диагональ призмы \(d\) образует с плоскостью боковой грани угол \(\alpha\).

1. В треугольнике \(AB, DE_1\):

\(\sin \alpha = \frac{B E_1}{d} \Rightarrow B E_1 = d \sin \alpha\)

\(\cos \alpha = \frac{D C}{d} \Rightarrow D C = d \cos \alpha\)

2. В треугольнике \(D O C_1\):

\(C C_1^2 = D C^2 — D E^2\)

\(C C_1 = d \sqrt{\cos^2 \alpha — \sin^2 \alpha} = d \sqrt{\cos 2 \alpha}\)

3. Объём призмы:

\(V = S \cdot h = (d \sin \alpha)^2 \cdot d \sqrt{\cos 2 \alpha} = d^3 \sin^2 \alpha \sqrt{\cos 2 \alpha}\)

Диагональ правильной четырёхугольной призмы равна \(d\) и образует с плоскостью боковой грани угол \(\alpha\). Для нахождения объёма призмы сначала рассмотрим геометрические соотношения в призме.

Рассмотрим треугольник, образованный диагональю \(d\), высотой боковой грани и проекцией диагонали на основание. Из определения синуса угла \(\alpha\) между диагональю и плоскостью боковой грани следует, что синус угла равен отношению длины проекции диагонали на высоту боковой грани к самой диагонали. То есть \(\sin \alpha = \frac{B E_1}{d}\), откуда длина высоты боковой грани равна \(B E_1 = d \sin \alpha\). Аналогично, косинус угла \(\alpha\) равен отношению длины проекции диагонали на основание к диагонали, то есть \(\cos \alpha = \frac{D C}{d}\), откуда длина проекции диагонали на основание равна \(D C = d \cos \alpha\).

Далее рассмотрим треугольник, образованный сторонами основания и высотой призмы. По теореме Пифагора найдём длину стороны основания \(C C_1\). Она равна корню из разности квадратов проекции диагонали на основание и высоты боковой грани: \(C C_1^2 = D C^2 — B E_1^2\). Подставляя выражения через \(d\), получаем \(C C_1 = d \sqrt{\cos^2 \alpha — \sin^2 \alpha} = d \sqrt{\cos 2 \alpha}\).

Объём призмы равен произведению площади основания на высоту. Площадь основания для правильной четырёхугольной призмы равна квадрату стороны основания, то есть \(S = (d \sin \alpha)^2\). Высота призмы равна длине проекции диагонали на основание, то есть \(h = d \sqrt{\cos 2 \alpha}\). Следовательно, объём равен \(V = S \cdot h = (d \sin \alpha)^2 \cdot d \sqrt{\cos 2 \alpha} = d^3 \sin^2 \alpha \sqrt{\cos 2 \alpha}\).