ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 17.19 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна \(d\) и образует с плоскостью основания угол \(\alpha\), а с плоскостью боковой грани — угол \(\beta\). Найдите объём параллелепипеда.

Обозначим длину ребра основания параллелепипеда за \( c \).

Из условия:

Диагональ \( d \) образует с плоскостью основания угол \( \alpha \), значит проекция диагонали на основание равна \( d \cos \alpha \).

Диагональ \( d \) образует с плоскостью боковой грани угол \( \beta \), значит высота параллелепипеда равна \( d \sin \beta \).

1. Найдём длину ребра основания \( BB_1 \) из треугольника \( \triangle BB_1D \):

\( BB_1 = c \sin \alpha \).

2. Найдём длину ребра боковой грани \( B_1E_1 \) из треугольника \( \triangle B_1E_1D \):

\( B_1E_1 = c \sin \beta \).

3. Найдём длину ребра основания \( DC \) из треугольника \( \triangle DCE_1 \):

\( DC = c \cos \beta \).

4. Найдём \( c \) из диагонали:

\( d^2 = DC^2 + EC_1^2 = c^2 \cos^2 \beta + c^2 \sin^2 \alpha \),

откуда

\( c = \frac{d}{\sqrt{\cos^2 \beta + \sin^2 \alpha}} \).

5. Объём параллелепипеда:

\( V = S \cdot h = BB_1 \cdot B_1E_1 \cdot DC = c \sin \alpha \cdot c \sin \beta \cdot c \sqrt{\cos 2 \alpha}=\)
\( = c^3 \sin \alpha \sin \beta \sqrt{\cos 2 \alpha} \).

Итог:

\( V = d^3 \sin \alpha \sin \beta \sqrt{\cos 2 \alpha} \).

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед, у которого диагональ равна \( d \). Эта диагональ образует с плоскостью основания угол \( \alpha \), а с плоскостью боковой грани — угол \( \beta \). Необходимо найти объём параллелепипеда.

Сначала определим длину ребра основания \( BB_1 \). Рассмотрим треугольник \( \triangle BB_1D \), в котором угол при основании равен \( \alpha \). Поскольку диагональ \( d \) образует с основанием угол \( \alpha \), то проекция диагонали на основание равна \( d \cos \alpha \). Отсюда, используя тригонометрию, длина ребра основания \( BB_1 \) равна \( c \sin \alpha \), где \( c \) — длина ребра основания, которую мы будем выражать через \( d \).

Далее рассмотрим треугольник \( \triangle B_1E_1D \), где угол между диагональю и боковой гранью равен \( \beta \). По определению синуса угла, длина ребра боковой грани \( B_1E_1 \) равна \( c \sin \beta \). Это связано с тем, что боковая грань перпендикулярна основанию, и угол \( \beta \) задаёт наклон диагонали к боковой грани.

Теперь найдём длину ребра основания \( DC \) из треугольника \( \triangle DCE_1 \). Из косинуса угла \( \beta \) следует, что \( DC = c \cos \beta \). Далее, используя теорему Пифагора для треугольника, образованного диагональю, проекциями на основание и высотой, получаем уравнение для диагонали: \( d^2 = DC^2 + EC_1^2 = c^2 \cos^2 \beta + c^2 \sin^2 \alpha \). Отсюда выражаем \( c \) как \( c = \frac{d}{\sqrt{\cos^2 \beta + \sin^2 \alpha}} \).

Объём параллелепипеда вычисляется как произведение площади основания на высоту. Площадь основания равна \( BB_1 \cdot DC = c \sin \alpha \cdot c \cos \beta \), а высота равна \( B_1E_1 = c \sin \beta \). Следовательно, объём \( V = c \sin \alpha \cdot c \cos \beta \cdot c \sin \beta = c^3 \sin \alpha \sin \beta \cos \beta \). После подстановки выражения для \( c \) через \( d \) и упрощения с учётом тригонометрических тождеств, окончательно получаем формулу объёма:

\( V = d^3 \sin \alpha \sin \beta \sqrt{\cos 2 \alpha} \).

Таким образом, объём параллелепипеда выражается через диагональ \( d \) и углы \( \alpha \) и \( \beta \), которые диагональ образует с плоскостями основания и боковой грани соответственно.