ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 17.2 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите объём куба, диагональ грани которого равна \(d\).

Диагональ грани куба равна \(d\), сторона куба \(a\) связана с диагональю формулой \(d^2 = 2a^2\).

Отсюда \(a = \frac{d}{\sqrt{2}}\).

Объём куба \(V = a^3 = \left(\frac{d}{\sqrt{2}}\right)^3 = \frac{d^3}{2\sqrt{2}}\).

Диагональ грани куба — это диагональ квадрата, который образует одна грань куба. Если сторона куба равна \(a\), то диагональ грани выражается через сторону формулой \(d = a \sqrt{2}\). Это связано с тем, что диагональ квадрата вычисляется по теореме Пифагора как гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника с катетами длины \(a\). Возводя обе части уравнения в квадрат, получаем \(d^2 = 2a^2\).

Из этого уравнения можно выразить сторону куба \(a\) через диагональ грани \(d\). Для этого нужно обе части уравнения разделить на 2 и извлечь квадратный корень: \(a = \frac{d}{\sqrt{2}}\). Это значение показывает, как длина стороны куба зависит от длины диагонали его грани.

Объём куба вычисляется по формуле \(V = a^3\). Подставляя выражение для стороны \(a\), получаем \(V = \left(\frac{d}{\sqrt{2}}\right)^3\). Возводя дробь в куб, получаем \(V = \frac{d^3}{(\sqrt{2})^3} = \frac{d^3}{2 \sqrt{2}}\). Таким образом, объём куба, у которого диагональ грани равна \(d\), равен \(\frac{d^3}{2 \sqrt{2}}\).